《2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1.2 导数在函数单调性中的应用 北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1.2 导数在函数单调性中的应用 北师大版选修1-1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.1.2 导数在函数单调性中的应用 1.会利用导数来结合函数单调性求有关参数. 2.会利用导数来证明不等式成立. 1.导函数的正负决定原函数的增减. 2.有关函数中恒成立问题,应注意两个转化: mf(x)恒成立mf(x)max; mf(x)恒成立mf(x)min. 【做一做1】 函数f(x)=x3-ax+1既有递增区间,又有递减区间,则a 的取值范围是 . 解析:f(x)=3x2-a,由条件知f(x)=0有两个不等实根.a0. 答案:(0,+) 【做一做2】 若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 . 解析:f(x)=3ax2-1,且f(x)在R上为减函数. 当a=0
2、时,f(x)=-10(或f(x)0),则f(x)在这个区间 上递增(或递减);但由f(x)在这个区间上递增(或递减)即可得到 f(x)0(或f(x)0). 题型一题型二题型三 【变式训练1】 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范围,并求出这三个单调区间. 分析:当给定函数含有字母参数时,常常需要分类讨论,不同的化 归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类原则和讨论的 准确性. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 利用导数判断函数图像 【例2】 如图,在半径为H的半圆形中,阴影部分的面积S是h的函数 (0hH),则该函数的图像是( ) 题型一题型二题型三 解析:由
3、题图可知h=0时,S最大,随着h的增大,阴影面积S逐渐减小, 但减小的速度越来越慢,故S(h)0,且图像向下凸出.符合这种情况 的是图像C. 答案:C 反思观察函数图像的方法是: (1)分析f(x)随x的增大是增大还是减小; (2)分析增加或减小的速度是越来越快,还是越来越慢; (3)分析特殊值对应的特殊点,如起点、中点、终点的情况. 题型一题型二题型三 【变式训练2】 已知导函数f(x)的下列信息: (1)当14或x1时,f(x)0; (3)当x=4或x=1时,f(x)=0. 试画出函数f(x)图像的大致形状. 解:(1)当14或xln x. 证明:设f(x)=x-ln x(x0), 因为当
4、x1时,f(x)0, 所以f(x)在(1,+)上是增加的. 又因为f(x)在1,+)上是连续的, 所以f(x)=x-ln xf(1)=1-00. 所以当x1时,xln x. 反思首先构造函数,然后求导函数,利用函数的单调性证明不等式 .这是证明不等式的常用方法,也是作差法的一个延伸. 题型一题型二题型三 【变式训练3】 求证:当x2时,x3-6x2-12x+8恒成立. 证明:设f(x)=x3-6x2+12x-8, 则f(x)=3x2-12x+12=3(x2-4x+4)=3(x-2)2. x2时,f(x)0恒成立, f(x)在(-,2上是增加的, x2时,f(x)f(2)=0, 即x3-6x2+
5、12x-80, 即x3-6x2-12x+8. 故当x2时,x3-6x2-12x+8恒成立. 123456 答案:B 123456 2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图,则导函数y=f(x)的 图像可能为( ) 123456 解析:由已知f(x)在(-,0)上递增,在(0,+)上,f(x)先增后减再增.所以 f(x)在(-,0)上的函数值为正,f(x)在(0,+)上的函数值先正后负再 正,故D选项正确. 答案:D 123456 答案:A 123456 4.如果函数f(x)=-x3+bx(b为常数)在区间(0,1)上是增加的,那么b的 取值范围是 . 解析:f(x)=-3x2+b0(0x1)恒成立, b3x2(0x1)恒成立,故b3. 答案:3,+) 123456 5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上是增加的,则k的取值范围是 . 答案:1,+) 123456
