《2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的距离 北师大版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的距离 北师大版选修2-1（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.6.2 直线到平面的距离、平面到平 面的距离 1.理解直线到平面的距离、平面到平面的距离的概念. 2.通过转化,会利用空间向量解决距离问题. 1.直线到平面的距离 当直线与平面平行时,直线上任一点到该平面的距离,叫直线到 平面的距离. 求直线到平面的距离时,一般转化为点到平面的距离. 说明:如果直线l平行于平面,即l,求直线l到的距离可以转化 为求直线l上一点P到平面的距离,即点到平面的距离. 【做一做1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=5,AB=12,则直线 B1C1和平面A1BCD1的距离是 . 解析:由于B1C1平面A1BCD1,则B1C1到平面A1BCD1的距离即为
2、 点B1(或C1)到平面A1BCD1的距离. 2.平面到平面的距离 当两平面平行时,一个平面内任一点到另一平面的距离,叫平面 到平面的距离. 求平面到平面的距离时,一般也是转化成点到平面的距离. 说明:如果两个平面,互相平行,即,求与之间的距离可以 转化为求平面上任意一点P到平面的距离,即点到平面的距离. 3.两条异面直线间的距离 (1)与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线,夹在 两交点之间的线段叫作公垂线段.两异面直线的距离是指公垂线段 的长度. (2)用向量法求异面直线距离的步骤:先求两条异面直线的公垂线 的方向向量,再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向 量上的投影的
3、大小.如图,a,b是两条异面直线,n是a和b的公垂线的 方向向量,点Ea,Fb,则异面直线a与b间的距离 说明:当异面直线a与b的公垂线的方向向量n不易找时,可通过以 下方法求n:设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)分别是直线a与b的方向 向量,设n=(x,y,z),且na,nb,则由na=0,nb=0,得 可取适合此方程组的一个解,从而求得一 个方向向量. 题型一题型二题型三 分析:求与平面平行的直线到该平面的距离可转化为求直线上一 点到平面的距离.但本题向平面作垂线不易确定垂足,可考虑用向 量的方法进行解题. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思求直线到平面的距
4、离的实质就是求直线上的点到平面的距 离.用向量法求点到平面的距离的关键是正确建立空间直角坐标系 ,准确求得各点的向量坐标,然后求出平面的一个法向量,正确运用 公式进行求解. 题型一题型二题型三 【变式训练1】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABC= ,AB=BC= AD=a,PA 平面ABCD,且PA=a,点F在AD上,且CFPC. (1)求点A到平面PCF的距离; (2)求AD与平面PBC间的距离. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 【例2】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为 A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点
5、,求平面AMN与平面EFBD间的距离. 分析:易证得平面AMN平面EFBD,从而两个平面具有共同的法 向量.因为点A平面AMN,点B平面EFBD,所以AB是夹在两平行 平面间的斜线段, 在法向量上的投影的绝对值即为所求. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 【变式训练2】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD 与平面B1CD1间的距离. 题型一题型二题型三 【例3】 如图所示,四边形ABCD是正方形,边长为7 cm,MNAB交BC于M,交DA于N,若AN=3 cm.沿MN把正方形折成 60的二面角,如图所示,求异面直线MN与BD的距离. 分析:本题
6、异面直线MN与BD的公垂线段不易确定,故采用向量法 求解. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思求两条异面直线间的距离,可先求出两条直线的公垂线的方 向向量n,然后在两条直线上各取一点,记为A,B,向量 在n上的投 影的大小就是两条异面直线间的距离d. 题型一题型二题型三 【变式训练3】 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E 为CC1的中点,求BD1与DE之间的距离. 1 2 3 1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的 距离为( ) 解析:由正方体中平面AB1D1平面BDC1,则两平面间的距离可转 化为点B到平面A
7、B1D1的距离. 显然A1C平面AB1D1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面AB1D1的法向量为 n=(a,-a,a). 答案:D 1 2 3 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,设点C到平面ABC1D1的距 离为d1,点D到平面ACD1的距离为d2,BC到平面ADD1A1的距离为d3, 则d1,d2和d3的大小关系为 . 答案:d2d1d3 1 2 3 3.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA底面 ABCD,OA=2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点,求:直线MN与平面 OCD的距离,平面MNR与平面OCD的距离. 解:因为M,R分别为AO,AD的中点,所以MROD. 在正方形ABCD中,N,R分别为BC,AD的中点,所以NRCD. 又MRNR=R,ODCD=D,所以平面MNR平面OCD. 又MN平面MNR,所以MN平面OCD. 所以直线MN与平面OCD的距离,平面MNR与平面OCD的距离都 等于点N到平面OCD的距离. 1 2 3
