《常微分方程 课本答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程 课本答案（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 课后答案网，用心为你服务！ 大学答案 - 中学答案 - 考研答案 - 考试答案 最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（ ）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点， 旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。 爱校园（ ） 课后答案网（ ） 淘答案（ ） 第一章习题 第一节习题 1.一个月球登陆器以1000米/时的速度开始向月球表面垂直着陆。为了能在月球表面达到软着陆，即着陆 时登陆器的速度正好为零，需要点燃一个能提供加速度为-20000米/时2的减速器，试讨论这个减速器在 何高度时点燃为好？ 解：设高度为h，加速度为a = 2oooom
2、/h2，初始速度为v0= 1000m/h,降落所用的时间是T，则有 dh dt = v0+ at. h(T) = 0 dh dt|t=T = 0 由第一项可得h = v0t + 1 2at 2 + C,其中C为任意常数，由第二项可得v0T + 1 2aT 2 + C = 0,由第三项可 得T = v0 a ，带入各项数值，最终得到h(0) = C = 25m. 2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1立方米/时，流入湖泊内不含污 染物A的水量为V2立方米/时，流出湖泊的水量为V1+ V2立方米/时。2000年底湖泊中污染物A的浓度 为5m0，超过了国家规定的标准，为了治
3、理污染，从2000年起限定排入湖泊中的污水含污染物A的浓度 不得超过m0 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？ 解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P0(t) + P(t)(V1+ V2) = m0 5 V1 P(0) = 5m0 解方程最终得到P(t) = e V1+V2 V t5m0 + m0 5 V1 V1+V2(e V1+V2 V t 1). 3.一个游泳者横渡到河的彼岸，试建立一个确立游泳者所在位置的微分方程模型。 解：不妨设游泳者始终朝着河的彼岸游，令(x,y)是游泳者的位置坐标，v0是水流速度，v1是游泳者的速 度，则可建立以下方程 dx dt = v0 dy dt
4、 = v1 x(0) = 0, y(0) = 0 4.把重200kg体积为4 3的球体和重150kg体积为的圆柱体同时放到河里，初速度为零，水作用在下沉的 球体和圆柱体上的阻力分别为c和s，其中c和s分别是球体和圆柱体的速度，是一个正的常数，试 确定哪一个物体先到达水底。 1 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 解：设两个物体的质量分别为mc,ms，体积为Vc,Vs,则有： mcg Vc= mc dVc dt + Vcg msg Vs= ms dVs dt + Vsg 设 mcg Vcg = Mc msg Vsg = Ms 则Mc Ms = 4 3，解得 Vc
5、(t) = Mcmc (1 e mct) Vs(t) = Msms (1 e mst) 由于mc ms = 4 3，从而球先到。 第二节习题 1.指出下列微分方程的阶数，并回答是否为线性微分方程： (1) dy dx = 4x3 y sinx;(2) dy dx2 (dy dx) 2 + 2xy; (3) x2 d2y dx2 2xdy dx + y = 2xsinx;(4) dy dx + cosy + 4x = 0; (5) y d3y dx3 ex dy dx + 3xy = 0;(6) d3y dx3 + 3dy dx 6y = 0. 答： (1)一阶线性； (2)二阶非线性； (3)
6、二阶线性； (4)一阶非线性； (5)三阶非线性； (6)三阶线性。 2.验证下列各函数是相应微分方程的解，并指出哪些是通解： (1) y = 1 + x2, dy dx = y2 (x2+ 1)y + 2x; (2) y = 1 x, x 2dy dx x2y2 xy 1 = 0; (3) y = C1e2x+ C2e2x, dy dx2 4y = 0(其中C1，C2是任一常数); (4) y = cxex, d2y dx2 2dy dx + y = 0(其中c是任意常数); (5) y = ecx, (dy dx) 2 y d2y dx2 = 0(其中c是任意常数); 2 课后答案网 若侵
7、犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 (6) y = (xC1) 2 4 , K时，在区间xi1 x xi上一致地 |f(xi1,yi1) f(x,n(x)| 17 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 这样，当n K时 |n(x)| Z x1 x0 |f(x0,y0) f(x,n(x)|dx + N X i=2 Z xi xi1 |f(xi2,(xi2) + f(xi1,(xi1) 2 f(x,n(x)|dx + Z x xN |f(xN2,(xN2) + f(xN1,(xN1) 2 f(x,n(x)|dx N Z xi xi1 + n 成立。
8、 接下来的证明与课本中的几乎一样。 2. 利用Ascoli引理证明下面的结论： 设一函数序列在有限区间I上是一致有界和等度连续的，则在I上它至少有一个一致收敛的子序列。 并举例说明，当I是无限区间时上面的结论不一定成立。 证明：不妨设I = a,b)。由Ascoli引理的条件知，只须证明函数序列中的任一个f(x) = n(x)可延拓 成a,b上的连续函数，即极限 lim xb f(x)存在即可。 任取一列数xn,n = 1,2,., 使得对任意n，有a xn 0); (b) dy dx = 0, 当y = 0, y ln|y|, 当y 6= 0. 证明：(a) (b)因为 |y1ln|y1|y
9、2ln|y2| = |y1ln|y1|y1ln|y1y2|+y1ln|y1y2|y2ln|y1y2|+y2ln|y1y2|y1ln|y2| |y1|ln y1 y2 y1 |+|y1y2|ln|y1y2|+|y2|ln y1 y2 y2 | 2|y1y2|+|y1y2|ln|y1y2| 21 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 令F(r) = 2r + lnr则可得证。 12.(a)设f(x),g(x),y(x)是x0 x x1上的非负连续函数.求证若 y(x) g(x) + Z x x0 f()y()d(x0 x x1) 则 y(x) g(x) + Z x
10、x0 f()g()e Rx f(s)dsd (x0 x x1) (b)在(a)的假设下,若g(x)还是单调下降的,则 y(x) g(x)e Rx x0f()d 证明:(a)设u(x) = Rx x0 f(s)x(s)ds则有 u0(x) = f(x)y(x),u0(x) fu = f(y u) = u0(x) fu fg = u0(x) fg + fu 两边乘以e Rx x0f(s)ds u0(x)e Rx x0f(s)ds fge Rx x0f(s)ds+ fue Rx x0f(s)ds 关于x从x0到x积分 u(x)e Rx x0f(s)ds Z x x0 f(s)g(s)e Rs x0f
11、()dds = u(x) Z x x0 f(s)g(s)e Rs x0f()dds 又因为u(x) y(x) g(x) = y(x) g(x) + Z x x0 f(s)g(s)e Rs x0f()dds (b)y(x) g(x) + Rx x0 f(s)g(s)e Rs x0f()dds g(x) + g(x) Rx x0 f(s)e Rs x0f()dds = g(x)(1 + Rx x0 f(s)e Rs x0f()dds) = g(x)(1 Rx x0(e Rt s f()d)0 sds) = g(x)e Rx s f()d)0 sds 22 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请
12、来信通知我们！ 课后答案网 3.3 1.(a)试确定适当的x0的值,使得方程 xn+1= xn 1 4(x 2 n 2) 定义的逐次迭代xn收敛于2. (b)选取x0= 1.4.试证明:为了求2到11位有效小数,要求30次迭代. 证明:(a)设f(x) = x 1 4(x 2 2),则f 0(x) = 1 x 2,若要使得|f 0(x)| 0.令 H(x) = Z x 0 h()d 设对于任何,积分 G() = Z d g() 恒存在. 求证：(1)如果G(y0) H(a),则y(x)在0 x a上有定义; (2)如果G(y0) H(a),则y(x)在0 x H(a)，则有G(y(a) 0，即
13、G(y(x)在0 x a上有定义，所以y(x)在0 x a上 有定义。 (2).如果G(y0) H(a)，则有G(y(a) 0，又G()恒正，所以y(a)不存在，则y = y(x)必在0 x b 0， 即对一切x和都有 y (x,) 0 3.7 1.2.（略）3.对n阶线性微分方程组的初值问题，试叙述并证明解的存在和唯一性定理。 叙述：存在唯一性定理：线性微分方程组 dX dt = A(t)X + B(t) 在区间a t b上有且仅有一个满足初值条件 X(t0) = X0 的解X = X(t)，其中t0 a,b,X0 Rn,X(t) = (x1(t),xn(t)T,t a,b是n维向量函数，以
14、 及A(t),B(t)分别是给定的n n实矩阵和n维实向量函数，且关于t是连续的。 证明：定义n维向量X(t)的模为|X(t)| = n P i=1 |xi(t)|，A的模为|A(t)| = n P i,j=1 |aij(t)|。线性微分方程组的 初始问题等价于积分方程 X(t) = X0+ Z t t0 (A(s)X(s) + B(s) ds 用逐次逼近法求解这个积分方程，即 Xn(t) = X0+ Z t t0 (A(s)Xn1(s) + B(s) dsn = 1,2, 因此，若Xn1(t)是连续的，则Xn(t)也是连续的，从而得到一逼近向量函数列Xn1(t)，令A = sup ta,b A(t)，则 |Xn(t) Xn1(t)| Z t t0 |A(s)|Xn1(s) Xn2(s)|ds 由归纳法即得 |Xn(t) Xn1(t)| (A(b a)n n! 28 课后答案网 若侵犯 了您的版 权利益，敬请来信通知我们！ 课后答案网 当n 时，Xn(t)按模收敛于X(t)，并且X(t)关于t a,b一致连续，且X(t)是线性微分方程组的解。 下证唯一性，设X(t),Y(t)都是初始问题的解，则 X(t) Y(t) = Z t t0 A(s)(X(s) Y(s)ds 由于X(t)是连续的，由归纳法可
