《2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 抛物线方程及性质的应用 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 抛物线方程及性质的应用 新人教a版选修1-1（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线方程及性质的应用 类类型一 直线线与抛物线线的位置关系 【典例1】(1)(2017吉林高二检测检测 )已知直线线l过过点 且与抛物线线y2=2px(p0)只有一个公共点,则则 直线线l的方程为为_. (2)顶顶点在原点,焦点在x轴轴上的抛物线线截直线线y=2x-4 所 得的弦长长|AB|=3 ,求此抛物线线方程. 【解题指南】(1)设出直线的点斜式方程,利用直线与 抛物线只有一个公共点的条件求斜率. (2)利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数. 【解析】(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时, 由题意设直线l方程为 将直线l的方 程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+
2、3k)p2=0. 由=0得, 或k=-1. 所以直线l的方程为 2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0. 当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点,此 时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为: 2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p. 答案:2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p (2)设所求的抛物线方程为y2=ax(a0),A(x1,y1), B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax, 得4x2-(a+16)x+16=0, 由=(a+16)2-2560,得a0或a0时时,直线线与抛物线线有两个公共点; 当=0时时,直线线与抛物线线只有
3、一个公共点; 当0,即k0)上 的点,则则 即 再由两点间间的距离公式,点 到直线线的距离公式表示出所求距离,利用求函数最值值的 方法求解. (2)几何转转化法:抛物线线上一点到某定直线线的距离的最 值问题值问题 也可通过过平移直线线的方法转转化为为平行线间线间 的距 离问题问题 . 【巩固训练训练 】求抛物线线y2=64x上的点到直线线 4x+3y+46=0的距离的最小值值,并求取得最小值时值时 的抛物 线线上的点的坐标标. 【解析】设点P(x0,y0)是抛物线上的任意一点,则x0= 点P到直线4x+3y+46=0的距离 所以当y0=-24,x0=9时, d有最小值为2,即抛物线上的点到直线
4、的最小距离等于 2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24). 【一题多解】(切线平移法)因为 无实根, 所以直线与抛物线没有公共点.设与直线平行的直线为 则 消去x得:y2+48y-48b=0. 设此直线与抛物线相切,即只有一个公共点,所以判别 式=482-4(-48b)=0,b=-12,代入式得y=-24,故x=9, 即(9,-24)到直线4x+3y+46=0的距离最近,最近距离为 类类型三 抛物线线中的对对称问题问题 【典例3】在已知抛物线线y=x2上存在两个不同的点M,N关 于直线线y=kx+ 对对称,求k的取值值范围围. 【解题指南】假设存在M,N两点,利用MN的中点在抛物 线内部确定
5、k的范围. 或设出MN的方程,利用直线MN与抛物线有两个交点确定 k的范围. 【解析】方法一:设M(x1,x12),N(x2,x22)关于直线y=kx + 对称,可知k0,所以 即x1+x2= 设MN的中点为P(x0,y0),则 因为中点P在y=x2内,有 所以k 或 方法二:由题意可设MN的方程为 由 得kx2+x-bk=0,则=1+4bk20, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则 代入 得 代入=1+4bk20得16k2-10, 所以 或 【方法总结总结 】抛物线线中的对对称问题问题 的解法 (1)抛物线线上存在两点关于直线对线对 称问题问题 要充分利用 点关于直线对线对 称的两个
6、条件,即对对称的两点的中点在这这 条直线线上,对对称点的连线连线 与这这条直线线垂直. (2)若将两对对称点连线连线 的方程与抛物线线的方程联联立方 程组组,可利用判别别式0得不等式,若利用点差法,则则可 以利用中点在曲线线内部得不等式,解不等式,即可求出 参数的取值值范围围. 【巩固训练训练 】求实实数m的取值值范围围,使抛物线线y=x2上存 在两点关于直线线y=m(x-3)对对称. 【解析】设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=m(x-3)对称,AB的中点为M(x0,y0), 显然m0,则 所以 将x0,y0代入方程y=m(x-3), 解得 由知x1,x2是方程 的两根, 由0可解得m- . 【课课堂小结结】 1.知识总结识总结 2.方法总结总结 判断直线线与抛物线线位置关系的操作程序
