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1、第三章第三章 一、本章主要内容回顾一、本章主要内容回顾 二、习题解答二、习题解答 1 本章要求： 1、能够灵活运用“隔离体”的平衡建立平衡方程； 2、掌握作梁的内力图的方法及其简便作法，尤其是要 熟练掌握利用分段叠加法作弯矩图； 3、逐步提高由梁到刚架作复杂内力图的能力； 4、从构造分析入手，学会将静定多跨梁拆成单跨梁， 将静定复杂刚架拆成简单单元的分析方法。 2 (2) 符号规定 N离开截面以拉力为正； Q使截面所在段顺时针转动(左上右下)为正； M以使水平杆下部纤维受拉(左顺右逆)为正。 一、梁的内力回顾一、梁的内力回顾 1、截面的内力分量及其正负号规定 (1) 内力分量： 在平面杆件的任
2、一截面上，一般有三个内力分量：轴力 N、剪力Q和弯矩M。 3 (3)内力图作法规定 2、截面法 截面法：是指将指定截面切开，取左边部分(或右边部 分)为隔离体，利用隔离体的平衡条件，确定此截面的三个 内力分量。 需要注意的问题： (1) 隔离体的取法。隔离体与其周围的约束要全部切断 ，而以相应的约束力代替。 (2) 隔离体上约束力的性质。 N、Q 图可画在杆件的任一侧，必须标明正负。 M图必须画在杆件的受拉侧，不标正负。 4 (3) 隔离体上平衡力系的组成。 (4) 计算时，假设未知力的方向按规定的正方向画出。 (5) 结果分析。 3、荷载与内力之间的关系 (1) 微分关系 yyx q dx
3、Md Q dx dM q dx dQ q dx dN -=-=-= 2 2 不同的荷载作用区段的内力图的特点： 均布荷载作用下Q图为斜直线，M图为二次抛物线；无 荷载区段， Q图为水平线， M图为斜直线等。 5 荷 载 无荷 区段 集中力 偶作用点 剪 力 图 水 平 线 斜 直 线 Q 为 零 处 有突变(突 变值等于该 集中力的 值) 如 变 号 无变化无变化无变化 弯 矩 图 斜 直 线 抛物线 (凸向 与q指向 相同) 有 极 值 有尖角(尖 角方向与集 中力指向相 同) 有 极 值 有突变 (突 变值等于该 集 中 力 偶 值) 等于该 力偶值 为 零 均布荷 载区段 集中力 作用点
4、 铰处和自由端 有力偶 无力偶 不同荷载下弯矩图与剪力图的形状特征表 (2)增量关系 mM PQ PN y x =D -=D -=D (3)积分关系 += -= -= B A B A B A x x AB x x yAB x x xAB QdxMM dxqQQ dxqNN 6 二、分段叠加法作弯矩图二、分段叠加法作弯矩图 1、叠加原理 由各力分别产生的效果(内力、应力、变形、位移等)的 总和等于各力共同作用时所产生的效果。 应用条件：材料服从“虎克定律”，并且是小变形。 理论依据：“力的独立作用原理”。 (1) 选定控制截面(集中力、集中力偶的作用点，分布荷 载的起止点)，并求出其弯矩值。 (
5、2) 当控制截面间无荷载时，连接控制截面弯矩的纵坐 标顶点，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时 ，此直线为叠加基线，再叠加该段按简支梁求得的弯矩图。 梁的弯矩图的一般作法： 7 注意：弯矩图的叠加，是指纵坐标(竖距)的叠加，而不 是指图形的简单拼合。 三、静定多跨梁三、静定多跨梁 定义：由若干根梁用铰连接而成用来跨越几个相连跨度 的静定梁称为静定多跨梁。 静定多跨梁是由简支梁、悬臂梁、伸臂梁组合而成的。 1、两种基本形式简图(组成形式) (1)单悬臂式 (2)双悬臂式 8 静定多跨梁从构造上来讲，可分为基本部分和附属部分 。 基本部分：能独立维持其几何不变性的部分。 附属部分：依赖其
6、它部分才能维持其几何不变性的部分 。 2、计算原则 (1) 分析结构组成次序，作出层次图。 (2) 先计算附属部分，将附属部分上的约束力作为外荷 载反向作用到基本部分上； (3) 计算基本部分的各约束力； (4) 作出单跨梁(构造单元)的内力图，然后连在一起即得 静定多跨梁的内力图； (5) 内力图的绘制规定同前。 9 3、力学特性 (1) 具有超静定结构、静定结构两者的优点，截面弯矩 小，抗弯刚度好； (2) 避开了超静定结构的缺点，不受温度变化、支座移 动(沉陷)的影响； (3) 要保证较好的力学特性，关键是中间铰的设置。 四、静定刚架四、静定刚架 1、刚架的特点 (1) 由直杆组成的结构
7、(一般梁与柱刚结而成)； (2) 结点全部或部分为刚结点； (3) 刚结点承受和传递弯矩，结点处各杆无相对转动； (4) 弯矩是刚架的主要内力。 10 2、计算程序 (1) 先计算支座反力； (2) 在支反力和外荷载的作用下，分别求出各杆端的内 力(截面法)，作出各杆的内力图，合起来即得到整个刚架的 内力图； (3) 最后校核。 3、内力图的作法 第一种作法：分别求出各控制截面的内力M、Q、N， 按绘图规则作出各内力图。 第二种作法：计算各控制截面的弯矩M，作M图；截取 杆件，考虑杆端弯矩M和杆件上的外荷载，利用杆件平衡求 出剪力Q，作Q图；截取结点，考虑杆端剪力Q和结点荷载 ，利用结点平衡求
8、出轴力N，作N图。 11 4、内力图的符号规定及有关说明 (1) 在刚架中Q、N都必须标明正负号，但是弯矩M不规 定正负号，在弯矩图弯矩画在受拉侧。 (2) 结点处有不同的杆端截面。用杆件两端标号标明内 力。 (3) 正确的选取隔离体，在截面处正确的标出三个未知 内力，M的方向可任意画出，Q、N的方向规定同梁。 5、刚架的几种形式 (1) 悬臂式刚架 (2) 简支式刚架 (3) 三铰刚架 (4) 组合式刚架 12 五、习题解答五、习题解答 3-1 用分段叠加法作下列梁的M图。 C 2 l q （a） AB8 2 ql 8 2 ql 2 l 8 2 ql M 图 A1B1 8 2 ql 8 2
9、ql 4 2 ql C q （b） AB8 2 ql 8 2 ql 2 l 2 l A1 B1 极值点 M 图 8 2 ql 8 2 ql 8 2 ql 13 p C 4 Pl 2 l （c） AB 4 Pl 2 l A1B1 M 图 4 Pl 4 Pl 4 Pl 2 Pl C （d） AB4 Pl 4 Pl p 2 l 2 l A1 B1 M 图 4 Pl 4 Pl 4 Pl （e） mkN/3 C m kN2 AB 2m2m2m D 2.0 2 6.0 6 1.5 A1 B1 M 图(kNm) D1 2m2m2m （f ）mkN/3 C DA B 8.0 10.7 10 6 M 图(kNm
10、) D1 A1 B1 先求支反力 14 1m2m2m1m A B CD E （g） mkN/3 6 6 12 6 A1 B1D1 E1 M 图(kNm)先求支反力 2m2m2m mkN /3 kN1 A BCD （h） 2 30 10 A1 B1 D1 M 图(kNm) 6 3-2 判断内力图正确与否，将错误改正。 q M （a） M 图 Q 图 （b） M 图 或 Q 图 或 15 （c） M 图 Q 图 或 或 （d） M 图 Q 图 或 M 图 Q 图 （e） M 图 或 Q 图M 图 或 Q 图 16 3-3 速画M图。 （a） P a PaPa Pa M 图 a 2 qa q （b）
11、 2 qa 2 2 qa M 图 aa PP （c） M 图 2Pa Pa Pa 17 q l h （d） M 图 2 2 qh 2 2 qh q l h （e） M 图 2 qh 2 2 qh （f） l h q M 图 8 2 ql 1.5aa a a q （g） M 图 2 3 2 qa 2 2 qa 2 2 qa 18 aa a a 1 1 1 1 （h） a a a a a a2 a2a a aa a M 图 mm （i） mm M 图 mm （j） m mm M 图 19 aaa a p （k） pa pa pa pa M 图 aa a a P PaM3= （l ） Pa Pa P
12、a Pa2 M 图 3-4 检查M图的正误，并加以改正。 （a）（b） （c） （d） （e） （f） （g）（h）（i） 20 3-5 求支座反力，并作梁的内力图。 3m3m 1.5 2m 2.5m1.54.5m 6m6m6m kN20kN10 mkN /2 A BCD E F 题3-5（a） （a） 分析体系的几何组成 次序，确定基本部分和附属部分 。 该体系的组成次序为先固定 AC，再固定CE，最后固定EF。 因此基本部分为AC，附属部分为 CE和EF。 求支座反力 先计算EF，求出E点的反力 ，将其作为外荷载反向作用在CE 上。然后再计算CE，求出C点的 反力，将其作为外荷载反向作用
13、在AC。最后计算AC。 = = = = )( 72 71 8 )( 72 5 15 )( 9 4 10 )(5 . 4 kNR kNR kNR kNR A B D F 作M 图和Q 图（如右图） 26.96 6.08 8.11 6.75 5.06 M 图 )(m kN 8.99 11.01 4.06 5.94 4.50 4.50 Q 图 )(kN 21 mkN2 1m 2m2m 1m1m1m1m4m1m4m1m kN4mkN /1 AB C I DE FGH 题3-5（b） （b）解： 分析体系的几何 组成次序，确定基本部分和附属部 分。 该体系的组成次序为先固定 DF和GH，再固定FG和HI
14、。因此 基本部分为DF和GH，附属部分为 FG和HI。 求支座反力 先计算FG和HI，求出F、G、 H点的反力，将它们作为外荷载反 向作用在DF和GH上。然后再计算 DF和GH。 = = = = = )(125. 3 )( 32 67 )( 32 25 )(75. 0 )(5 . 4 kNR kNR kNR kNR kNR I C B E D 作M 图和Q 图（如右图） 1 1 1 8 15 4 7 2 1 2 9 M 图 )(m kN 4 9 4 7 1 1 8 17 8 15 32 7 Q 图 )(kN 22 3-6 选择铰的位置x，使中间一跨的跨中弯矩与支座弯矩绝 对值相等。 题3-6
15、图 x lll x q 解：中间一跨的跨中弯矩为 8 )2( 2 xlq M - = 中 中间一跨的支座反力均为 2 )2(xlq- ( ) 则对左边一跨有如右图所示的等效图 。 x l q 2 )2(xlq- 2 )( 22 )2( 22 xlxqqx x xlq M - -=+ - -= 右 右边支座处的弯矩为 若右中 MM= 2 )( 8 )2( 22 xlxqxlq- -= - ，则有 舍去不合题意， 解得 + = - = 4 22 4 22 2 1 lx lx 23 3-7 作图示刚架的内力图。 2/aa a q qa （a） 8 2 qa 8 2 qa 2 qa 2 qa M 图
16、qa 8 13 qa 8 5 qa Q 图 qa 2 1 N 图 qa 8 5 24 3m3m 4.5m mkN/3 mkN/2 mkN/2 mkN/3mkN/3 （b） 38.12 99 99 13. 113. 1 M 图（kNm） Q 图（kN ） 6 6 9 9 75. 6 75 . 6 N 图（kN ） 75. 6 66 25 a a qq q q q （c） 2 2 qa 8 2 qa 2 8 5 qa M 图 2 8 5 qa 2 8 5 qa 2 8 5 qa 8 2 qa 8 2 qa 8 2 qa Q 图 qa 2 qa qa 2 qa 2 qa 2 qa 2 qa qa N 图 2 qa 26 3-8 作图示三铰
