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1、结构力学结构力学 天津城市建设学院力学教研室 STRUCTURE MECHANICS 第14章 结构的稳定计算 14.1 两类稳定问题概述 一、结构设计应满足三方面的要求 1、强度 2、刚度 3、稳定性 二、基本概念 1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态 转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“ 失稳”。 2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中 间状态（中性平衡状态）。 3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。 第14章 三、结构失稳的两种基本形式 1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质 上的突变，带有突然性。 第14章 l/2 PPc r l (b)
2、 弯曲平衡状态 P2 P O P1 D （c） 荷载位移曲线（P 曲线） Pc r D C A B P (a)直线平衡状态 l 第14章 (a) 偏心受压杆 P eP P P O Pe (b) 荷载位移曲线（P 曲线） Pc r C A B 2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式 ，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结 构不能正常工作。 14.2 确定临界荷载的静力法和能量法 一、临界状态的静力特征 1、体系失稳前在弹性阶段工作 （1）应力、应变成线性关系。 （2）挠曲线近似微分方程成立。 2、采用小挠度理论分析 （1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载
3、值 是相同的。 （2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。 3、静力特征 临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状 态过渡到不稳定状态的极限状态。 第14章 二、静力法 1、定义 假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相 应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。 2、步骤 （1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。 （2）列静力平衡方程。 （3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界 条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。 第14章 3、举例 （1）试求图示结构的临界荷载。 pcr y x x p 第14章 pcr M(x
4、 ) y R l-x 左式为“超越方程” 解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）： 2、图解法： 以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点 ，确定l。 第14章 例14-1 试求图示结构的临界荷载。 y x x pcr pcr M(x ) y p 第14章 例14-1 试求图示结构的临界荷载。 y x x pcr pcr M(x ) y p 第14章 第14章 （另法）例14-1 试求图示结构的临界荷载。 y x x pcrp M(x) x y 第14章 三 、能量法 （一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系） 2、解题思路 1、三种平衡
5、状态 （1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。 （2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。 （3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。 图1 图2 图3 （1）当外力为保守力系时 （2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时 第14章 （3）直杆稳定（刚性杆） 第14章 3、能量法计算公式（单杆） x y 第14章 4、P151例题14-2 （二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系） 设弹性曲线为多参数曲线： 依“势能驻值原理”：临界状态下真实的变形曲线应使体系的总 势能为驻值。 第14章 得： （14-15）： 第14章 这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n次 线性
6、方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。 得： （14-15） 令： 简写为： 14.3 弹性支承等截面直杆的稳定计算 第14章 具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类 MA= k A B Pc r x x y y EI Pc r B x k l y x y EI MA= k A Pc r x y y RB EI y Pc r B x k A EI 第14章 一、一端固定、一端为弹性支座 Pc r B x k l y x y EI 由边界条件：x=0处，y=y=0；x=l处，y=。得到： (14-21) 第14章 MA= k A B Pc r x x y y EI 二、一端自由、
7、另一端为弹性抗转支座 (14-21) 边界条件： 平衡方程： 稳定方程： 第14章 三、一端铰支、另一端为弹性抗转支座 边界条件： 平衡方程： 稳定方程： (14-22) MA= k A Pc r x y y RB EI 第14章 四、一端铰支、另一端为弹性支座 y Pc r B x k A EI 考虑在小变形情况下，取sin=、cos=1， 上式改写为 弹簧的支反力 临界荷载 ： (14-24) 补充例题（1） 试求图示结构的临界荷载。 p y x x p M(x ) y R=0 l-x p MB 第14章 补充例题（2）试求图示结构的临界荷载。 l-x y x x M(x ) y ppp MB 第14章 补充例题（3）试求图示结构的临界荷载。 y x x p M(x ) y pp x Rc 第14章 补充例题（4）试求图示结构的稳定方程及临界荷载。 y x x p M(x ) y pp x Rc 第14章 补充例题（5）试求图示结构的临界荷载。 l 解： p p x y 第14章 补充例题（6）试求图示结构的稳定方程及临界荷载。 解： p p x y l p M(x ) y x 第14章 补充例题（7）试求图示结构的临界荷载。 解： p x y x M(x ) y pp 第14章
