《2017-2018学年高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则 北师大版选修2-2（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 简单复合函数的求导法则 复合函数的导数 (1)定义:对于两个函数y=f(u)和u=(x)=ax+b,给定x的一个值,就 得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称 这个函数为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数,记作y=f(x).其中 u=(x)为中间变量. (2)导数公式:复合函数y=f(x)的导数为yx=f(x)=f(u)(x). 名师点拨求复合函数的导数的注意事项 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适 当选定中间变量. (2)尽可能地先将函数化简,再求导. (3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用. (4)复合函数的求导过程
2、可简记为分解求导回代,熟练以后, 可以省略中间过程. 【做一做1】 指出下列函数是怎样复合而成的: 解:(1)令u=g(x)=2x,则y=sin u,u=2x, y=f(u)=f(g(x)=sin 2x. (3)令u=g(x)=1-2x,则y=logau,u=1-2x, y=f(u)=f(g(x)=loga(1-2x). 【做一做2】 求下列函数的导数. (1)y=(2x+1)5; 解:(1)设u=2x+1,则y=u5, yx=yuux=(u5)(2x+1)=5u42=10u4=10(2x+1)4. (2)设u=1-3x,则y=u-4,yx=yuux=(u-4)(1-3x)=-4u-5(-3)
3、 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. 探究一探究二思维辨析 复合函数求导 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(nN+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y=(2x+1)n=n(2x+1)n-1(2x+1) =2n(2x+1)n-1. (2)y=sin(4x+3)=cos(4x+3)(4x+3)=4cos(4x+3). (3)y=(xcos 2x)=xcos 2x+(cos 2x)x =cos 2x-2xsin 2x. 探究一探究二思维辨析 反思感悟求复合函数的导数要处理好以下环节: (1)中间
4、变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数和复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层的求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成自变量的函数; (6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可 以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导. 探究一探究二思维辨析 变式训练1已知函数f(x)=ln(2x+1),则f(0)=( ) A.0B.1C.2D. 答案:C 探究一探究二思维辨析 变式训练2求下列函数的导数. 探究一探究二思维辨析 综合应用 分析:先利用复合函数的求导法则求出函数f(x)的导数,再利用导 数的几
5、何意义求切线方程. 探究一探究二思维辨析 探究一探究二思维辨析 反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何 一个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以 解决与导数有关的实际问题. 探究一探究二思维辨析 答案:2 变式训练4设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直, 则a= . 解析:y=aeax,且y=f(x)=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0 垂直,k=2=f(0)=a,即a=2. 答案:2 探究一探究二思维辨析 没有分清复合函数的复合结构而致误 【典例】 求函数y=xe1-2x的导数. 易错分析:对e1-2x的求导应按照
6、复合函数的求导法则进行,即(e1- 2x)=e1-2x(1-2x)=-2e1-2x. 解:y=e1-2x+x(e1-2x)=e1-2x+xe1-2x(1-2x) =e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x. 纠错心得1.求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是直接求 导函数,还是利用复合函数的导数公式求导. 2.复合函数y=f(x)的导数为yx=f(x)=f(u)(x).即对自变量 的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导 数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导. 探究一探究二思维辨析 解:令y=ln u,u=2x+3, 1 2 3 4 5 1.函数y=co
7、s (1+x2)的导数是( ) A.2xsin (1+x2) B.-sin (1+x2) C.-2xsin (1+x2) D.xsin (1+x2) 解析:y=-sin (1+x2)(1+x2)=-2xsin (1+x2). 答案:C 1 2 3 4 5 2.函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为( ) A.2x-y-3=0B.2x+y-3=0 C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 解析:y=(e2x-4)=e2x-4(2x-4)=2e2x-4, k=2e22-4=2. 把x=2代入y=e2x-4,得y=1, 切点为(2,1). 函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 答案:A 1 2 3 4 5 3.设函数f(x)=cos( x+)(0),若f(x)+f(x)是奇函数,则= . 1 2 3 4 5 4.求下列函数的导数.
