《2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 北师大版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 北师大版选修4-5（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章几个重要的不等式 答案:柯西不等式 向量形式的柯西不等式 乱序和 顺序和 证明整除问题 证明几何问题 贝努利不等 式 专题一专题二专题三 专题一 柯西不等式的应用 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 证明因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)(a+2b)2, 即5(1-c2)(1-c)2. 整理得3c2-c
2、-20, 专题一专题二专题三 专题二 排序不等式的应用 1.在利用排序不等式证明不等式时,首先考虑构造出两个合适的 有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的已知 条件及待证不等式的结构特点进行合理选择. 2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式 问题,利用排序不等式解决往往很简捷. 3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略 . 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 专题三 数学归纳法的应用 利用数学归纳法证明数列不等式和构造函数利用单调性解决数 列中的不等关系是高考重点.在证明不等式时注意以下几点:
3、(1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端项数的变 化,也就是认清不等式的结构特征. (2)对n=k+1中的式子进行等价变形,要用上n=k时的假设. (3)活用起点位置. (4)有的试题需先作等价变换. 专题一专题二专题三 分析注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法 证明. 专题一专题二专题三 专题一专题二专题三 变式训练3求证:2n+2n2,nN+. 证明(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边右边; 当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边右边; 当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边右边.因此当 n=1,2,3时
4、,不等式成立. (2)假设当n=k(k3,且kN+)时,不等式成立,即2k+2k2. 则当n=k+1时,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2=k2+2k+1+k2-2k- 3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)k2+2k+1=(k+1)2. 所以2k+1+2(k+1)2. 故当n=k+1时,原不等式也成立. 根据(1)(2)可知,原不等式对于任何nN+都成立. 234156 234156 234156 234156 3.(2017江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明 :ac+bd8. 证明由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+
5、b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264, 因此ac+bd8. 234156 考点2:数学归纳法的应用 4.(2015安徽高考)设nN+,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与 x轴交点的横坐标. (1)求数列xn的通项公式; 234156 234156 解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1-ex. 当f(x)0,即x0时,f(x)f(0)=0,即1+xex. 234156 234156 234156 6.(2017浙江高考)已知数列xn满足 :x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN+).证明:当nN+时, (1)00, 假设n=k时,xk0, 那么n=k+1时,若xk+10, 则00. 因此xn0(nN+). 所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1. 因此0xn+1xn(nN+). 234156 234156
