《2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 1.5 二项式定理 北师大版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理 1.5 二项式定理 北师大版选修2-3（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 二项式定理 一二 一二 名师点拨1.一个二项展开式的某一项的二项式系数 与这一项 的系数(二项式系数与数字系数的积)是两个不同的概念,二项式系 数一定为正值,而项的系数既可以是正值也可以是负值,还可以是0. 一二 答案:2 一二 二、二项式系数表 当n依次取1,2,3,时,(a+b)n展开式的二项式系数如图所示: 上图所示的表叫作二项式系数表. 在二项式系数表中,有如下两个结论: 一二 一二 名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 一二 一二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打
2、“”,错误的打 “”. (1)二项式定理中字母a,b的顺序是可以任意变换的. ( ) (2)“二项式系数”与“二项式的展开式系数”可以相等. ( ) (3)(a+b)n的展开式第5项是 ( ) (4)(1+x)n中,令x=1可得展开式的所有项系数和为2n. ( ) (5)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) 探究一探究二探究三思维辨析 【例1】 (1)求 的展开式; (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 分析(1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开 . (2)分析式
3、子的结构形式,逆用二项式定理求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展 开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构 特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟 二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点,如果项的系 数是正负相间,则是(a-b)n的形式. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 【例2】 已知在 的展开式中,第9项为常数项,求: (1)n的值; (2)展开式中x5的系数; (3)含
4、x的整数次幂的项的个数. 分析先根据通项确定n的值,再根据特定项的特征逐一求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.在通项公式 五个 元素,只要知道其中四个就可以求出第五个,同时注意幂指数n是正 整数,r是自然数,且rn.在未知r,n的情况下,用通项公式解题,一般 都需要先将通项公式转化为方程(组)求出r,n,再代入通项公式求解. 2.利用通项公式可以解决以下问题: (1)求指定项. (2)求特征项,如常数项,即字母的次数为零;有理项,即字母的次数 为整数等. (3)求指定项、特征项的系数. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 答案:(1
5、)B (2)D (3)15 探究一探究二探究三思维辨析 【例3】设 ,求下列各 式的值. (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+a100; (3)a1+a3+a5+a99; (4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2; (5)|a0|+|a1|+|a100|. 探究一探究二探究三思维辨析 分析要求常数项a0只需令x=0即可,而要求除了常数项a0之外的 其他项的系数和,则令x=1求得所有项的系数和,由a1,a3,a5,a7对应的 x的指数幂都是奇数,剩下各项对应的x的指数幂都是偶数,分别令 x=1,x=-1,可区别指数幂为奇数或偶数的项.|a0|+|a1|+|a100|.只
6、要 根据a0,a1,a2,a100的正负去绝对值号,再进行求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都 成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等 于多少,应就具体情况而定,有时取“1”,有时取“-1”,也有时要取其他 值.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式各项系数之和 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求: (1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)|a0|+|a1|+|a2
7、|+|a7|. 解(1)令x=0可得(1-0)7=a0,则a0=1. 令x=1可得(1-21)7=a0+a1+a2+a7, 即a0+a1+a2+a7=(-1)7=-1, 所以a1+a2+a7=-1-a0=-2. (2)由(1)得x=1时,a0+a1+a2+a7=(-1)7=-1. 令x=-1得a0-a1+a2-a7=(1+2)7=37. -得2(a1+a3+a5+a7)=-1-37, (3)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=a0-a1+a2-a7=37. 探究一探究二探究三思维辨析 因二项式系数与项的系数混淆而致误 【典例】 设(x- )n展开式中,第二项与第四项的系数之比为 12,试求
8、含x2的项. 易错分析二项式中二项式系数与展开式中某一项的系数及某一 项这些不同的概念容易混淆而致误. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 1234 1.化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得 ( ) A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x5 解析原式=(x-1+1)4=x4.故选A. 答案A 5 12345 1234 3.在二项式 的展开式中,各项系数之和为A,各项二项 式系数之和为B,且A+B=72,则n= . 解析(赋值法)由题意可知,B=2n,令x=1,得A=4n,由A+B=72,得 4n+2n=72,即2n=8,n=3. 答案3 5 1234 答案:40 5 1234 5.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求: (1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|. 5
