《2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质（一） 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.1 正弦函数、余弦函数的性质（一） 新人教a版必修4（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一) 一二三 一、周期函数 【问题思考】 1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2个单位重复出现,这 一规律的理论依据是什么?设f(x)=sin x,则sin(x+2k)=sin x(kZ)可 以怎样表示? 提示:sin(x+2k)=sin x(kZ);f(x+2k)=f(x). 2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x) 叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. 3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有
2、哪些?是否存在 最小的一个?是否存在一个最小的正的周期? 提示:周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2k(kZ,k0); 不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2. 一二三 4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特 殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期. 5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为 的周期函数. (2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)= . 解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周
3、期函数. (2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x). 答案:(1)3 (2)f(x) 一二三 二、正弦函数与余弦函数的周期性 【问题思考】 1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢? 提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2;余弦函数也是周期 函数,最小正周期也是2. 2.填空:(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它 的周期,最小正周期是2. (2)余弦函数y=cos x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期, 最小正周期是2. 一二三 一二三 答案:(1)2 (2)4 6.函数y=sin x(x0),y=sin x(x0)是周期函数,y
4、=sin x(x0)是周期函数,y=sin x(0x10)不是周期函数. 7.填空:一个函数是否是周期函数,与其定义域有关,一般地,周期 函数的定义域是无穷区间. 一二三 三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性 【问题思考】 1.根据诱导公式有sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这反映了正弦函数 和余弦函数的什么性质? 提示:奇偶性. 2.填空:(1)正弦函数y=sin x是奇函数,其图象关于原点对称; (2)余弦函数y=cos x是偶函数,其图象关于y轴对称. 一二三 3.做一做:(1)函数y= sin 2x的奇偶性为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶
5、函数 D.非奇非偶函数 (2)函数y=1+cos x的图象( ) A.关于x轴对称B.关于y轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x= 对称 一二三 f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数. (2)设y=f(x)=1+cos x. f(-x)=f(x),f(x)=1+cos x为偶函数, 故其图象关于y轴对称. 答案:(1)A (2)B 一二三 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 探究一探究二探究三思维辨析 分析对于(1)(2)(3),可采用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象 观察求得周期. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 求函数最小正
6、周期的常用方法 求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为 y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,再利用 求得;(2) 图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正 周期. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 分析求定义域定义域是否关于原点对称看f(-x)与f(x)的关系 确定奇偶性 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.判断函数奇偶性的常用方法: (1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=- f(x)或f(-x)=f(x)是否成立. (2)图象法,即作
7、出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性. (3)验证法,即验证f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0 是否成立.此法通常用于函数是非奇非偶的 情形. 2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如 果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如 果不是,那么该函数是非奇非偶函数. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xcos(+x); (2)f(x)=sin(cos x). 解:(1)函数f(x)的定义域为R, f(x)=xcos(+x)=-xcos x, f(-x)=-(-x)cos(-x)
8、=xcos x=-f(x). f(x)为奇函数. (2)函数f(x)的定义域为R, f(-x)=sincos(-x)=sin(cos x)=f(x). f(x)为偶函数. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法: 利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值. 利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题. 2.推得函数周期的若干形式: (1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t; (2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t; 探究一探究二探究
9、三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 答案:0 探究一探究二探究三思维辨析 本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示:根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期 公式对各个命题加以判断. 探究一探究二探究三思维辨析 答案: 防范措施研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式 以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可 以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的 函数. 12345 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( ) A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析:因为xR,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 答案:A 12345 答案:C 12345 A.最小正周期为2的奇函数 B.最小正周期为2的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 答案:C 12345 4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则 f(5)= . 解析:由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,则f(5)=f(5- 6)=f(-1)=-f(1). 又f(1)=1,则f(5)=-1. 答案:-1
