《2017-2018学年高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理 北师大版选修2-2（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2 微积分基本定理 微积分基本定理 (1)条件:连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F(x). 名师点拨1.微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了 被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供 了一个简单有效的方法转化为计算函数F(x)在积分区间上的 增量. 2.用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)=f(x)的函 数F(x),再计算F(b)-F(a). 3.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简函数,再求定积分 . 答案:F(x)=ln x+c(c为常数) 答案:7 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“”,错误的画 “
2、”. (1)运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算. ( ) (2)因为被积函数f(x)的原函数不唯一,所以 f(x)dx也不唯一.( ) 探究一探究二探究三思维辨析 求简单的定积分 【例1】 求下列定积分的值: 分析:根据微积分基本定理,关键是求相应被积函数的一个原函 数. 解:(1)(x2+3x)=2x+3, 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟由微积分基本定理求定积分的步骤及注意点 第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 第二步:计算函数的增量F(b)-F(a). 注意:当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式, 便于求得函数F(x),再计算定积分. 探究一
3、探究二探究三思维辨析 变式训练1求下列定积分: 解:(1)(x2+2)2=x4+4x2+4, 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 求分段函数的定积分 分析:f(x)在区间0,3上的积分可按照f(x)的分段标准,分成在区间 0,1,1,2,2,3上三段的积分之和. 解:由定积分的性质知, 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟计算分段函数的定积分 1.分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分的和的形式. 2.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,一般按照原函数 分段的情况分即可. 3.当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数 的定积分再计算. 探究一探究二探
4、究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 微积分基本定理的应用 分析:先求出定积分,再利用函数奇偶性列出方程组求解. 探究一探究二探究三思维辨析 解:g(x)=x3+ax为奇函数, =0+(3a-b)-(-3a+b)=6a-2b. 6a-2b=2a+6, 即2a-b=3. 3a-b=0. 由得a=-3,b=-9. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟定积分的逆运算是一个新的关注点和高考创新点,一般 是将积分上限或下限参数化,在求定积分的表达式后要求将其函数 化,然后再与函数的性质、最值等结合在一起进行考查,解决此类 问题的关键是分清各变量之间的关系. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3已知
5、t0,f(x)=2x-1,若 f(x)dx=6,则t= . t=3或t=-2(舍). 答案:3 探究一探究二探究三思维辨析 因对定积分的被积函数的确定出错而致误 【典例】 求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成 图形的面积. 易错分析:本题中阴影部分的面积不能用一个定积分表示,应先 分割成两部分再用定积分表示. 探究一探究二探究三思维辨析 解:由题意,作出图形如图所示. 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得1.利用定积分求平面图形面积时,一般要先画出它的草 图,再借助图形直观地确定出被积函数以及积分上限和积分下限. 2.当所求面积的图形边界不能用同一个函数来表示时,需借助定 积分的性质分段求解. 探究一探究二探究三思维辨析 1 2 3 4 5 A.6B.5 C.4D.3 答案:D 1 2 3 4 5 答案:A 1 2 3 4 5 3.若F(x)=x2,则F(x)的解析式一定不正确的是( ) 解析:(x3)=3x2, F(x)=x3不正确. 答案:B 1 2 3 4 5
