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1、1 * 第四章 随机变量的数字特征 2 * 分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 3 * 考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义. 4 * q r.v.的平
2、均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差 q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性都可用 数字来描写 5 * 4.1随机变量的数学期望 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 4.1 6 * 为这 3 个数字的加权平均 称 数学期望的概念源于此 7 *
3、 设 X 为离散 r.v. ,分布律为 若无穷级数 数学期望的定义 绝对收敛,则称其和为 X 的 离散型 数学期望, 记作 E( X ), 即 4.1 随机变量的数学期望 数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 8 * 例1 设r.v X的分布律如下表 ,求 E ( X ) . X P -1 3 解 甲乙两人赌博，甲赢的概率为 ，输的概率 为 ，甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一 次，要给乙1元，则甲平均每次可赢 元。 期望：每个赌徒参加赌博时，心中要盘算的数字 4.1 随机变量的数学期望 9 * 例2 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 10 * 设连续 r
4、.v. X 的 d.f. 为.若广义积分 数学期望，记作 E( X ), 即 连续型 绝对收敛,则称此积分为 X 的 例3 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) . 解 记住哦 4.1 随机变量的数学期望 11 * 常见 r.v. 的数学期望（P112 熟记） 分布 期望概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p)np P() 4.1 随机变量的数学期望 12 * 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E() N(, 2) 几何分布 4.1 随机变量的数学期望 13 * 注意 不是所有的 r.v.都存在数学期望 例如：设 r.v. X的密度函数为 因 发散 故它的
5、数学期望不存在!柯西(Cauchy)分布 柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857 法国数学家 4.1 随机变量的数学期望 14 * q 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数绝对收敛，则 q 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 绝对收敛, 则若广义积分 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 4.1 随机变量的数学期望 15 * q 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 Z = g(X ,Y ), 绝对收敛 , 则 若级数 q 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为f (x ,y) ， 绝对收敛, 则 若广义积分
6、 Z = g(X ,Y ), 4.1 随机变量的数学期望 16 * 例4 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求 的数学期望. 解 4.1 随机变量的数学期望 17 * q E (C ) = C q E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) q 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 数学期望的性质 常数 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立 注 4.1 随机变量的数学期望 18 * 反 例 X Y pij -1 0 1 -1
7、0 1 0 p j pi X Y P -1 0 1 4.1 随机变量的数学期望 19 * 例5 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中, 每 盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3 4.1 随机变量的数学期望 20 * 解二 引入 X i ,i = 1,2,3,4 Xi P 1 0 一个随机变量 分解为多个随 机变量的和 4.1 随机变量的数学期望 21 * 例6 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为 求E(X), E(Y), E(X+Y), E(XY), E(Y/X). 解 4.1 随机变量的数学期
8、望 22 * 由数学期望性质 X ,Y 独立 4.1 随机变量的数学期望 23 * 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm) N ( ,1).已知销售每个零件的利润 T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系： 问平均直径 为何值时, 销售一个零件的 平均利润最大？ (P.171习题四15题) 应用 应用4 24 * 解 25 * 即 可以验证， 零件的平均利润最大. 故时, 销售一个 26 * 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立 反例 1 X Y pij -1 0 1 -1 0 1 0 p j pi 附录1 附录1 27
9、 * X Y P -1 0 1 但 28 * 反例2 29 * 但 30 * 几个重要的 r.v. 函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的方差 附录2 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数 4.1 随机变量的数学期望 31 * 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击 中的环数分别为： 甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？ 解
10、 首先比较平均环数 甲 = 8.3, 乙 = 8.3 4.2 方差 有 五 个 不 同 数 有 四 个 不 同 数 再比较稳定程度 甲： 乙： 4.2 方 差 32 * 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E X - E(X)2 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. 4.2 方 差 33 * 若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机变量 X 称为 X 的均方差或标准差. 方差概念 定义 即 D (X ) = E X - E(X)2 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 若 X 为离散型 r.v.，分布
11、律为 4.2 方 差 34 * 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： 例7 设X P (), 求D ( X ). 解 4.2 方 差 35 * 例8 设 X N ( , 2), 求 D( X ) 解 4.2 方 差 36 * 常见随机变量的方差(P112 熟记) 分布 方差概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p)np(1-p) P() 4.2 方 差 37 * 分布 方差概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E() N(, 2) 4.2 方 差 38 * q D (C) = 0 q D (aX ) = a2D(X) D(aX+b )
12、= a2D(X) q 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 若相互独立，为常数,则 4.2 方 差 39 * 若X ,Y 相互独立 q 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 ,当且仅当 C = E(X )时等号成立 q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 4.2 方 差 40 * 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 41 * 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 42 * 性质 4 的证明： 当C = E(X )时，显然等号成立； 当C E(X )时， 43 * 例9 设X B( n , p)，求D(
13、X ). 解二 引入随机变量 相互独立， 故 解一 利用 求D (X ). 4.2 方 差 44 * 例 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ). 解 故 例4 45 * 例10 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数 , 已知每次射击中靶的概率 为 p , 求E(X ), D(X ). 解: 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数，i = 1,2, n 相互独立，且 4.2 方 差 46 * 故 本例给出了几何分布与帕斯卡分布的期望与方差 4.2 方 差 47 * 例11 将 编号分别为 1 n 的 n 个球随机地放入编 号分别为 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球. 若 球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配 对. 求配对个数 X 的期望与方差. 解 则 不相互独立， 但 P 1 0 4.2 方 差 48 * P 1 0 P 1 0 P 1 0 4.2 方 差 49 * P 1 0 4.2 方 差 50 * 与 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存 在, 且D(X ) 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， 仅知 r.v.的期望与方差并不
