《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例 新人教a版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例 新人教a版必修1（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例 类类型一 指数型函数模型的应应用实实例 【典例1】(1)(2017菏泽泽高一检测检测 )每次用同体积积的 水清洗一件衣物,且每次能洗去污污垢的 ,若洗x次后存 留的污污垢在1%以下,则则x的最小值值是_. (2)设设在海拔xm处处的大气压压强是yPa,y与x之间间的函数关 系式是y=cekx,其中c,k为为常量,已知某地某天在海平面 的大气压为压为 1.01105Pa,1000m高空的大气压为压为 0.90105Pa,求600m高空的大气压压强(结结果保留3个有 效数字). 【解题指南】(1)根据题意建立指数函数模型求解. (2)根据已有的函数模型,
2、由题中条件先确定c,k,进而 可求出600m高空的大气压强. 【解析】(1)每次洗去污垢的 ,就是存留了 ,故洗x 次后,还有原来的 (xN*),故有 100, 解得x的最小值为3. 答案:3 (2)将x=0,y=1.01105,x=1000,y=0.90105分别代入 函数式y=cekx, 得 所以c=1.01105, 将c=1.01105代入0.90105=ce1000k, 所以k= 由计算器得k=-1.1510-4, 所以y=1.01105 将x=600代入上述函数式得 y=1.01105 由计算器算得y=0.943105. 所以600m高空的大气压强约为0.943105Pa. 【方法总
3、结总结 】指数型函数模型在生活中的应应用 (1)在实际问题实际问题 中,有关人口增长长、银银行利率、细细胞分 裂等增长长率问题问题 常可以用指数型函数模型表示.通常可 以表示为为y=N(1+p)x(其中N为为基础础数,p为为增长长率,x为为 时间时间 )的形式. (2)增长长率问题问题 多抽象为为指数函数形式,当由指数函数 形式来确定相关的量的值值要求不严严格时时,可以通过图过图 象近似求解.用函数的图图象求解未知量的值值或确定变变量 的取值值范围围,是数学常用的方法之一. 【补偿训练补偿训练 】1.(1)(2017金华华高一检测检测 )衣柜里的樟 脑脑丸,会随着时间挥发时间挥发 而体积缩积缩
4、 小,刚刚放入衣柜的新樟 脑脑丸体积为积为 a,经过经过 t天后体积积与天数t的关系式为为 V=ae-kt,若新樟脑脑丸经过经过 50天后,体积变为积变为 a;若一 个新樟脑脑丸体积变为积变为 a,则则需经过经过 的天数为为( ) A.75 B.100 C.125 D.150 (2)某种商品进进价为为每个80元,零售价为为每个100元,为为 了促销销,采用买买一个这这种商品赠赠送一个小礼品的办办法. 实实践表明:礼品价格为为1元时时,销销售量增加10%,且在一定 范围围内,礼品价格为为(n+1)元时时,比礼品价格为为n(nN*) 时时的销销售量增加10%.设设未赠赠送礼品时销时销 售量为为m.
5、 写出礼品价格为为n元时时,利润润yn(元)与n(元)的函数关 系式; 请请你设计设计 礼品的价格,以使商店获获得最大利润润. 【解析】(1)选A.根据题意可知 a=ae-50k,所以 =e-50k,所以-50k=ln . 令 a=ae-kt,所以e-kt= ,-kt=ln ,结合式可 知,t= =75,故选A. (2)当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%)n件,故利 润yn=(100-80-n)m(1+10%)n=(20-n) m1.1n(0n20,nN*). 令yn+1-yn0,即(19-n)m1.1n+1-(20-n) m1.1n0,解得n9. 所以y1y2y12y13y19. 所
6、以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润. 2.某城市现现在人口总总数为为100万人,如果年自然增长长率 为为1.2%,试试解答下面的问题问题 : (1)写出该该城市人口总总数y(万人)与年份x(年)的函数关 系式. (2)计计算10年后该该城市人口总总数(精确到0.1万人). (3)计计算大约约多少年以后该该城市人口将达到120万人(精 确到1年). 【解题指南】解决这类题的关键是根据题意建立函数 模型.解题流程为“审、设、列、解、答”,即审题 设未知量列出函数关系式求解作答.在求解过程 中要注意所设未知量的实际意义. 【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100 1.2%=1
7、00(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100 (1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100 (1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3. 故x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)10=100 1.01210112.7(万人). (3)设大约n年后该城市人口将达到120万人, 即100(1+1.2%)n120, nlog1.012 =log1.0121.2015.3. 故大约16年以后该城市人口将达到120万人.
8、 类类型二 对对数函数模型的应应用 【典例2】燕子每年秋天都要从北方飞飞向南方过过冬,研 究燕子的科学家发现发现 ,两岁岁燕子的飞飞行速度可以表示为为 函数v=5log2 ,单单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量. (1)求燕子静止时时的耗氧量是多少个单单位? (2)当一只燕子的耗氧量是80个单单位时时,它的飞飞行速度 是多少? 【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v=0时Q的值. (2)两岁燕子的耗氧量是80个单位时,求它的飞行速度, 即为当Q=80时v的值. 【解析】(1)由题意,当燕子静止时,它的速度v=0,代入 题中给出的公式可得:0=5log2 ,解得Q=10. 即燕子静止时的耗氧
9、量是10个单位. (2)将耗氧量Q=80代入题中给出的公式得: v=5log2 =5log28=15(m/s). 【延伸探究】 1.本例中“函数v=5log2 ”若换为换为 “v=5log2 ”, 其他条件不变变,试试求燕子静止时时的耗氧量. 【解析】由题意,当燕子静止时,它的速度v=0,所以 0=5log2 ,解得Q=100,则燕子静止时的耗氧量是100 个单位. 2.本例条件不变变,则则当燕子的飞飞行速度为为v=5(m/s)时时 的耗氧量是多少? 【解析】因为v=5log2 ,v=5,所以5log2 =5, 即log2 =1,故 =2,所以Q=20. 【方法总结总结 】对对数函数应应用题题
10、的基本类类型和求解策略 (1)基本类类型:有关对对数函数的应应用题题一般都会给给出函 数解析式,然后根据实际问题实际问题 再求解. (2)求解策略:首先根据实际实际 情况求出函数解析式中的 参数,或给给出具体情境,从中提炼炼出数据,代入解析式求 值值,然后根据数值值回答其实际实际 意义义. 【补偿训练补偿训练 】载载人飞飞船是通过过火箭发发射的.已知某型号 火箭的起飞飞重量Mt是箭体(包括搭载载的飞飞行器)的重量 mt和燃料重量xt之和.在不考虑虑空气阻力的条件下,假 设设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为为y= kln(m+x) -ln( m)+4ln2(其中k0,lnx是以e为为底
11、x 的对对数).当燃料重量为为( -1)mt时时,该该火箭的最大速 度为为4km/s. (1)求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间间 的函数解析式. (2)若此型号火箭的起飞飞重量是479.8t,则应则应 装载载多少 吨燃料(精确到0.1t,取e=2.718)才能使火箭的最大飞飞 行速度达到8km/s,顺顺利地把飞飞船发发送到预预定的椭圆轨椭圆轨 道? 【解析】(1)由题意,得4=klnm+( -1)m- ln( m)+4ln2,解得k=8, 所以y=8ln(m+x)-ln( m)+4ln2=8ln (2)由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x. 将y=8代入(1
12、)中所得式中,得8=8ln 解得x303.3. 答:应装载303.3t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达 到8km/s,顺利地把飞船送到预定的椭圆轨道. 类类型三 拟拟合型函数模型的应应用 【典例3】(2017重庆庆高一检测检测 )某学习习小组组在暑期社 会实实践活动动中,通过对过对 某商场场一种品牌服装销销售情况的 调查发现调查发现 :该该服装在过过去的一个月内(以30天计计)每件的 销销售价格P(x)(百元)与时间时间 x(天)的函数关系近似满满足 P(x)=1+ (k为为正常数),日销销售量Q(x)(件)与时间时间 x(天) 的部分数据如下表所示: 已知第10天的日销销售收入为为121(百
13、元). x(天)10202530 Q(x)(件)110120125120 (1)求k的值值. (2)给给出以下四种函数模型: Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b,Q(x)=abx, Q(x)=alogbx. 请请你根据表中的数据,从中选择选择 你认为认为 最合适的一种 函数来描述日销销售量Q(x)(件)与时间时间 x(天)的变变化关系 ,并求出该该函数的解析式. (3)求该该服装的日销销售收入f(x)(百元)的最小值值. 【解题指南】(1)根据题中条件求k的值.(2)选择一种 函数模型,根据待定系数法求其解析式.(3)借助(2)中 函数解析式求其最值. 【解析】(1)依题意知第1
14、0天的日销售收入为P(10) Q(10)= 110=121,解得k=1. (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减 并不单调,故只能选Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取 两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1x30,xN*). (3)由(2)知Q(x)=125-|x-25| = 所以f(x)=P(x)Q(x)= 当1x25时,y=x+ 在1,10上是减函数,在10,25) 上是增函数,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min= 121; 当25x30时,y= -x为减函数,所以当x=30时 ,f(x)取得最小值f(x)min=124. 综上所述,当x
15、=10时,f(x)取得最小值f(x)min=121. 所以该服装的日销售收入的最小值为121百元. 【方法总结总结 】数据拟拟合问题问题 的三种求解策略 (1)直接法:若由题题中条件能明显显确定需要用的数学模 型,或题题中直接给给出了需要用的数学模型,则则可直接代 入表中的数据,问题问题 即可获获解. (2)列式比较较法:若题题所涉及的是最优优化方案问题问题 ,则则 可根据表格中的数据先列式,然后进进行比较较. (3)描点观观察法:若根据题设题设 条件不能直接确定需要用 哪种数学模型,则则可根据表中的数据在直角坐标标系中进进 行描点,作出散点图图,然后观观察这这些点的位置变变化情况, 确定所需要用的数学模型,问题问题 即可顺顺利解决. 【拓展延伸】数据拟拟合过过程中假设设的作用 一般情况下数学建模,是离不开假设设的,假设设的作用主 要表现现在以下几个方面: (1)进进一步明确模型中需要考虑虑的因素和它们们在问题问题 中的作用,通常初步接触一个问题问题 ,会觉觉得围绕围绕 它的因 素非常多,经经仔细细分析筛选筛选 ,发现发现 有的因素并无实质联实质联 系,有的因素是无关紧紧要的,排除这这些因素,问题则问题则 越 发发清晰明朗,
