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1、章 数列、推理与章 数列、推理与证证明明 第40课 等比数列 课 前 热 身 1. (必修5P49习题1改编)已知数列an为正项等比数列， a29，a44，那么数列an的通项公式an_. 激活思维 2. (必修5P49习题1改编)如果1，a，b，c，9成等比数 列，那么b_，ac_. 【解析】由等比数列的性质可得ac(1)(9)9，bb 9，且b与奇数项的符号相同，故b3. 39 3. (必修5P58练习6改编)若对于实数x，有anxn，则数列 an的前n项和Sn_. 4. (必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为an431 n，则数列a n是_数列(填“递增”或“递减”) 递减 1.
2、 等比数列的定义及通项 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的_ 都等于_，那么这个数列就叫作等比数列这个 常数叫作等比数列的_ 推广：anamqnm. 知识梳理 比 同一个常数 公比 3. 等比数列的性质 设数列an是等比数列，公比为q. (1) 若mnpq(m，n，p，qN*)，则_； amanapaq 课 堂 导 学 等比数列的基本量运算 例 1 【精要点评】此题主要考查等比数列的通项公式求等比 数列的通项就是要求基本量a1和q，要注意q1的情况 1 2. (2016苏州期中)已知等比数列an的公比大于1，若a5 a115，a4a26，则a3_. 4 3. (2016苏北四市摸底)
3、在等比数列an中，若a11，a3a5 4(a41)，则a7_. 【解析】方法一：设等比数列an的公比为q，因为a11， a3a54(a41)，所以q2q44(q31)，即q64q340，q32 ，所以a7q64. 4 4. (2015全国卷)在数列an中，已知a12，an12an，Sn 为an的前n项和若Sn126，则n_. 6 (1) (2016广州期末)在正项等比数列an中，若 a1和a19为方程x210 x160的两根，则a8a10a12_ . 等比数列的性质及应用 例 2 64 (2) (2016南通一调)已知等比数列an的前n项和为Sn，若 S23，S415，则S6的值为_ 63 方
4、法三：由S2，S4S2，S6S4成等比数列可得(S4S2)2 S2(S6S4)，所以S663. 【思维引导】(1) 考虑一元二次方程根与系数的关系；(2) 根据性质S2，S4S2，S6S4成等比数列列式计算S6. (1) (2016梁丰中学)已知等比数列an的前n项和 为Sn，若a2a82a3a6，S562，则a1_. 【解析】设等比数列an的公比为q，由a2a82a3a6，得a 2a5a4，因为a50，所以a52a4，所以q2.又因为S562， 所以a1(124816)62，即31a162，解得a12. 变式 2 已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n. (1) 求数列an的前3项
5、a1，a2，a3的值； 等比数列的判定和证明 例 3 【思维引导】第(1)小问中只需要分别令n1,2,3解方程即 可；第(2)小问先根据Sn2an(1)n得到an与an1的关系，再根 据定义得出结论，最后写出通项公式 变式 等比数列的判定和证明 例 4 【解答】(1) 设等比数列an的公比为q，因为a4S4，a5 S5，a6S6成等差数列， 所以a5S5a4S4a6S6a5S5， 即2a63a5a40，所以2q23q10. (2) 对nN*，在an与an1之间插入3n个数，使这3n2个数 成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列bn的前n项 和Tn. 【精要点评】本题主要考查等比数列前
6、n项和公式的运用， 同时考查构造新数列求通项、求和的方法 (2015四川卷)设数列an的前n项和Sn满足Sn2an a3，且a1，a21，a3成等差数列 (1) 求数列an的通项公式； 【解答】(1) 因为Sn2ana3，所以anSnSn12an2an 1(n2，nN *)，即a n2an1(n2，nN *)， 从而a22a1，a32a24a1. 又因为a1，a21，a3成等差数列， 即a1a32(a21)， 所以a14a12(2a11)，解得a12， 所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，所以an 2n. 变式 (2015南通二调)设an是公差为d的等差数列 ，bn是公比为q(q1)的
7、等比数列，记cnanbn. (1) 求证：数列cn1cnd为等比数列； 【解答】(1) 由题意得cn1cnd(an1bn1)(anbn) d(an1an)d(bn1bn)bn(q1)0， 又因为c2c1db1(q1)0， 所以cn1cnd是首项为b1(q1)，公比为q的等比数列 备用例题 (2) 已知数列cn的前4项分别为4,10,19,34，求数列an和 bn的通项公式 【解答】方法一：cn1cnd的前3项为6d,9d,15d ，则(9d)2(6d)(15d)， 解得d3，从而q2. 解得a11，b13， 所以an3n2，bn32n1. 消去b1，得q2， 从而解得a11，b13，d3， 所
8、以an3n2，bn32n1. 【精要点评】等差数列与等比数列的综合运用主要还是考 查基本量的运算，同时考查学生综合分析问题的能力 课 堂 评 价 1. (2015泰州二模)在等比数列an中，已知a34，a72a5 320，那么a7_. 【解析】设公比为q，则有a3q42a3q2320，即q42q2 80，解得q24(负值舍去)，所以a7a3q464. 2. 在正项等比数列an中，若a3a1116，则log2a2log2a12 _. 【解析】因为等比数列an中，a3a1116，所以a2a12 a3a1116，所以log2a2log2a12log2(a2a12)log2164. 64 4 3. 在等比数列an中，若S54，S1012，则S15 _. 【解析】由等比数列的性质知S5，S10S5，S15S10成等比 数列，S54，S10S58，所以S15S1016，则S1528. 4. (2016浙江卷)已知数列an的前n项和为Sn.若S24，an1 2Sn1，则S5_. 28 121 5. (2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，且a1a4 9，a2a38. (1) 求数列an的通项公式； 【解答】(1) 由题设知a1a4a2a38， 联立a1a49， 由a4a1q3，得公比q2， 所以ana1qn12n1.
