《（福建专用）2018年高考数学总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性 文 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（福建专用）2018年高考数学总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性 文 新人教a版（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 函数的奇偶性与周期性 知识梳理考点自测 1.函数的奇偶性 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 知识梳理考点自测 2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且 n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x). f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小的正数 知识梳理考点自测 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如
2、果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在 关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶, 奇偶=奇. 知识梳理考点自测 2.周期性的几个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数): 3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关 于直线x=a对称; 知识梳理考点自测 知识梳理考点
3、自测 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对 称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心 对称. ( ) (4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x) 是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-,内f(x)是减函 数,则在(0,+)内f(x)是增函数.( ) (6)若T为
4、y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ) 知识梳理考点自测 D 解析:由题意知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且在区间(0,+)内 为减函数, f(x)为偶函数,即f(x)的图象关于y轴对称,故选D. 知识梳理考点自测 3.(教材习题改编P39A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x(1+x)B.f(x)=x(1-x) C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(x-1) B 解析: (方法一)由题意得f(2)=2(1+2)=6. 函数f(x)是定义在R上的奇
5、函数,f(-2)=-6. 经验证,仅有f(x)=x(1-x)时,f(-2)=-6.故选B. (方法二)当x0, f(-x)=-x1+(-x). 又f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x). -f(x)=-x(1-x), f(x)=x(1-x),故选B. 知识梳理考点自测 4.(教材习题改编P39B组T3)已知函数f(x)是奇函数,在区间(0,+) 内是减函数,且在区间a,b(ab0时,-x0时,-xf(a),则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,-1)(2,+) B.(-1,2) C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+) (3)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 ,则函数f(x)
6、 的解析式为 ; (4)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2-x,则当xa,解得-2a1. 考点一考点二考点三考点四 考点一考点二考点三考点四 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用? 解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数 解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性 解不等式;利用函数的奇偶性求最值等. 2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函 数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方 程,从而可得f(x)的解析式. 考点一考点二考点三考点四 A D B 考点一考点二考点三考点四 (3)当x=2时,有f(2
7、)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大 致图象,由图象可知,当-2x-22,即00,故选B. 考点一考点二考点三考点四 函数的周期性的应用 例3(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时 ,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 ( ) A.336 B.337 C.1 678D.2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且 .若当2x3 时,f(x)=x,则f(105.5)= . B 2.5 考点一考点二考点三考点四 解析: (1)f(x+6)=f(x)
8、,函数f(x)的周期T=6. 当-3xf(-2)B.f()f(-2)f(-3) C.f()f(-3)f(-2)D.f()2,且当x0,+)时,f(x)是增函数,所以f()f(3)f(2). 又函数f(x)为R上的偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2), 故f()f(-3)f(-2). (3)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(-3)=0,f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=2. 考点一考点二考点三
9、考点四 思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性的综合问题的策略 有哪些? 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性 相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶 性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的 定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期 性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解. 考点一考点二考点三考点四 对点训练4(1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若 f(1)1,f(5)= ,则
10、实数a的取值范围为( ) A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2) (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且f(x)在区间0,2 上是增函数,则( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11) A D 考点一考点二考点三考点四 解析: (1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), 解得-1a4. (2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x), 所以f(x-8)=f(x),所以函数f(
11、x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1), 即f(-25)f(80)f(11). 考点一考点二考点三考点四 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定 义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分 条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于 判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价 形式: 3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若 在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中 的应用. 考点一考点二考点三考点四 4.求函数周期的方法
