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1、3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 第三章 非稳态导热第三章 非稳态导热 （Transient Conduction） 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f( ) 例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 非稳态导热：非稳态导热：周期性周期性和和非周期性非周期性（瞬态导热瞬态导热） 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ） 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时 间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在 经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温 度，最终达到热平衡 物体的
2、温度随时 间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在 经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温 度，最终达到热平衡 周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 锅炉、内燃机、制冷设备等装置起动、停机、变工况 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度自然环境温度 物体温度按一定的周期发生变化 锅炉、内燃机、制冷设备等装置起动、停机、变工况 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度自然环境温度 实例：实例：热铁块投入凉水中热铁块投入凉水中 水，M2 20oC 铁块，M1 300oC 传热学：传热学：过程的速率 )( );,( fQzyxft= 一、 瞬态导热过程简介 采暖设备开
3、始供热前 一、 瞬态导热过程简介 采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的：墙内温度场是稳态、不变的 采暖房屋外墙墙内采暖房屋外墙墙内温度温度变化过程变化过程 采暖设备开始供热采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定； 墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快； 经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布 ：室内空气温度很快升高并稳定； 墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快； 经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布 采暖设备开始供热前采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变：二者相等、稳定不变 墙外表面与墙内表面墙外表面与墙内表面热流密度热流密度变化过程变化过程 采暖设备开始供热
4、采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温 度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙 表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面 热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙 表面热流密度逐渐增大；最终二者相等 ：刚开始供热时，由于室内空气温 度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙 表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面 热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙 表面热流密度逐渐增大；最终二者相等 二者的差值， 为墙本身温度的 升高提供的热量 二者的差值， 为墙本身温度的 升高提供的热量 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态非正规状况阶段（起
5、始阶段）、正规状况阶段、新的稳态 瞬态导热过程三个阶段瞬态导热过程三个阶段 夏季室外空气温度以一 天 夏季室外空气温度以一 天24小时为周期变化；小时为周期变化； 二、 周期性非稳态导热过程简介二、 周期性非稳态导热过程简介 室外墙面温度也以室外墙面温度也以24小 时为周期变化，但比室 外空气温度变化滞后一 个相位、振幅有所减小 小 时为周期变化，但比室 外空气温度变化滞后一 个相位、振幅有所减小 室内温度稳定（空调）；室内温度稳定（空调）； 墙内各处温度由于受室 外温度周期变化的影 响，也以同样周期变 化；振幅减小 墙内各处温度由于受室 外温度周期变化的影 响，也以同样周期变 化；振幅减小
6、室外空 气温度 室外空 气温度 室外墙 面温度 室外墙 面温度 墙内各 处温度 最低值 墙内各 处温度 最低值 墙内各 处温度 最高值 墙内各 处温度 最高值 某时刻 墙内温 度分布 某时刻 墙内温 度分布 墙内各 处温度 平均值 墙内各 处温度 平均值 学习非稳态导热的目的：学习非稳态导热的目的： 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：非稳态导热的导热微分方程式： 求解方法求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法：分析解法、近似分析法、数值解法 ) ; ),(f(zyxft= v q z t zy t yx t x
7、t c+ + + = )()()( 分析解法：分析解法：分离变量法分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法集总参数法、积分法、瑞利、积分法、瑞利-里兹法 数值解法： 里兹法 数值解法：有限差分法有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟 、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟 一、加热或冷却过程的分析解法（分离变量法）一、加热或冷却过程的分析解法（分离变量法） 边界条件：边界条件： (第三类第三类) 厚度厚度 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a 为已知常数；为已知常数； =0时温度为时温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低
8、为突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之间 的表面传热系数为 并保持不变；壁表面与介质之间 的表面传热系数为h。两侧冷却 情况相同、温度分布对称。中心 为原点。 初始条件： 。两侧冷却 情况相同、温度分布对称。中心 为原点。 初始条件： 3-2 有限厚度无限大平壁的瞬态导热有限厚度无限大平壁的瞬态导热 导热微分方程：导热微分方程： 2 2 x t a t = , 0 0 tt = )(- , ; 0 , 0 =tthxtxxtx 采用分离变量法求解：取采用分离变量法求解：取 2 2 x t a t = , 0 0 tt = )(- , 0 , 0 = = tthxtx xtx
9、 过余温度 ),( =txt 2 2 x a = 00 , 0= -tt = = x hxxxx- , ; 0 , 0 )()(=xX 2 2 x a = 00 , 0= -tt = = = x hxx xx - , 0 , 0 )()(=xX 2 2 11 dx Xd Xd d a = 只为只为 的函数的函数 只为只为 x 的函数的函数 = 2 2 11 dx Xd Xd d a 只能为常数：只能为常数： = 2 2 11 dx Xd Xd d a = 2 2 1 ; 1 dx Xd Xd d a 若常数若常数 为正值为正值， 将随着时间将随着时间 的增大而急剧增大； 当 的增大而急剧增大；
10、 当 值很大时，值很大时， 将趋于无限大，实际上这将趋于无限大，实际上这不可能。不可能。 常数常数 只能为负值只能为负值。取。取 2 = ; 1 ; 1 2 2 2 2 = dx Xd Xd d a )exp( 2 1 ac= )sin()cos( 32 xcxcX+= )exp()sin()cos(),( 2 axBxAx+= )()(=xX 31 21 ccB ccA = = 若常数若常数 为零为零， 将等于常数，意味着温度将不随时 间发生变化，这 将等于常数，意味着温度将不随时 间发生变化，这也不符合实际也不符合实际。 )exp( 1 ac= A、B 和和 可由初始条件和边界条件确定可由
11、初始条件和边界条件确定 )exp()sin()cos(),( 2 axBxAx+= 0 , 0=xx 0 )cos()sin( 22 0 0 =+= = = aa x x eBexBxA x 0=B )exp()cos(),( 2 axAx= = = x hxx- , )exp()cos()exp()sin( 22 ahAaA= )(ctg = h Bi = h = ctg Bi = h=Bi毕渥准则毕渥准则 特征方程特征方程 ctg Bi = 特征方程的解就是特征方程的解就是 y1=ctg 和和 y2= /Bi交点所对应的交点所对应的 数值数值 y1=ctg 是以 为周期的函 数，故解有无穷
12、多个； 是以 为周期的函 数，故解有无穷多个； 1、 、 2、3. n 称为称为特征值 特征值的数值与 特征值 特征值的数值与 Bi 有关，并随着有关，并随着 Bi 的增大而增大的增大而增大； 见书中 第 ； 见书中 第57页上的表页上的表3-1（ 1、2、3、4、 、 5、 、6） 当当 Bi 时 时，直线，直线 y2= /Bi与横坐标重合，特征值 为 与横坐标重合，特征值 为 1= /2， 2=3 /2， 3=5 /2 n =(2n-1) /2 当当 Bi 0 时时，直线，直线 y2= /Bi与纵坐标重合，特征值 为 与纵坐标重合，特征值 为 1=0， 2=， 3=2 n =(n-1) 当
13、常数当常数 A1、A2 . An 为任何值时各个特解都满足导热 微分方程式和边界条件；但是上述特解中的任何一个 都与初始时刻的实际温度值不等。需用初始条件确定 为任何值时各个特解都满足导热 微分方程式和边界条件；但是上述特解中的任何一个 都与初始时刻的实际温度值不等。需用初始条件确定Ai 该导热问题的通解为各个特解的线性叠加该导热问题的通解为各个特解的线性叠加：导热微分 方程式和边界条件都是线性的 ：导热微分 方程式和边界条件都是线性的 温度和温度的各阶 导数项的系数都与温度无关 在给定 温度和温度的各阶 导数项的系数都与温度无关 在给定 Bi 准则的条件下，对应于每一个特征值，温 度分布的特
14、解为： 准则的条件下，对应于每一个特征值，温 度分布的特解为： )exp()cos(),( . )exp()cos(),( )exp()cos(),( 2 2 2222 2 1111 nnnn axAx axAx axAx = = = = = 1 2 )exp()cos(),( n nnn axAx 由初始条件确定由初始条件确定 两边同乘两边同乘cos( mx/ )；在；在 0 x 范围内进行积分 范围内进行积分 = = 1 2 )exp()cos(),( n nnn axAx n n = = 初始条件：初始条件： 00 , 0= -tt = = 1 0 )cos( n nn x A = = 0 1 0 0 )cos()cos()cos( n mnnm dx xx Adx x 特征函数的正交性：特征函数的正交性： = 0 0)cos()cos( :dx xx nm mn 时 = 0 2 0 0 )(cos)cos(dx x Adx x nnn An =? 壁内温度分布壁内温度分布
