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1、书书书第卷 第期 年月数学建模及其应用 编者按： 本文系作者在 年全国数学建模竞赛培训与应用研究研讨会上所作大会报告整理而成， 文中对数学建模做了新的诠释， 很值得一读！本刊特别向广大读者推介这篇文章， 以期有力推动全国数学建模教学与科研的发展。从数学建模到问题驱动的应用数学李大潜各位同志：大家好。对数学建模的认识与看法， 我在很多场合、 特别在每年一次的建模颁奖仪式上都讲了很多。每年的讲稿虽看上去差不多， 但都有一些必要的补充、 修改及发挥， 说明我的认识与看法也一直在不断深化。这次， 我想除了简单重复一下过去讲过的认识与看法外， 更多地谈一些最近的新认识， 并结合自己的切身体会， 谈在建模
2、颁奖仪式讲话中因时间限制不可能充分展开、 因而没有深入阐述的一些意见和建议，供大家参考， 也希望得到大家的批评指正。什么是数学建模和数学模型大家知道， 数学是各门科学的重要基础， 在自然科学、 工程科学、 人文科学及社会科学等方面均发挥着越来越重要的作用， 在很多场合起着举足轻重、 甚至是决定性的影响。数学科学与计算机技术相结合， 已形成了一种普遍的、 可以实现的关键技术 数学技术， 成为当代高新技术的一个重要组成部分。“ 高新技术本质上是一种数学技术” 的提法， 已经得到越来越多的认同， 不少重要科学领域的数学化趋势， 也已呼之欲出或初见端倪。数学又是经济建设和技术进步的重要工具， 对加快我
3、国现代化建设和增强综合国力起着至关重要的作用。数学更是人类文明的重要组成部分和坚实支柱， 数学教育对提高全民素质、 培养现代化建设所需要的各类人才有着举足轻重的意义。正因为这样， 数学科学的重要性已得到广泛的认同。现在， 在大学本科中， 数学类的专业已经成了最热门的专业， 也充分反映了这一点。但是， 数学要走向应用， 真正显示出它在各个领域、 各种层次应用中的关键性、 决定性作用， 显示出它的强大生命力， 必须设法在实际问题与数学之间架设一个桥梁， 首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题， 然后对这个数学问题进行分析和计算， 最后将所求得的解答回归实际， 看能不能有效地回答原先的实际问题。
4、这个全过程， 特别是其中的第一步， 就称为数学建模， 即为所考察的实际问题建立数学模型。这儿涉及到两个既有区别、 又有联系的名词和概念。一个是“ 数学模型” ， 其英文为 ， 而另一个是“ 数学建模” ， 其英文为 。后者的 是一个动名词， 强调的是“ 构建” 数学模型的过程与方法， 而前者的 是一个名词， 表示的是构建后所得到的数学模型。“ 数学模型” 和“ 数学建模” 这两个名词在我国兴起并被广泛使用， 不过是近卅年的事。从 年起我国开设“ 数学建模” 课程， 年起举办每年一次的全国大学生数学建模竞赛， 年起“ ” 在我国定期举办， 年起开展“ 将数学建模的思想与方法融入数学类主干课程”
5、的教改实践， 年 数学建模及其应用 杂志创办等等， 均使以数学建模为核心的教学与研究活动进一步向纵深发展。所有这一切， 构成了这些年来在国内历时最长、 规模最大也最成功的数学教学改革实践， 得到了社会各界和广大师生的广泛认可、 热情欢迎与大力支持。这样看来， 数学模型的建立或者数学建模， 似乎是一个新东西、 新名词， 其实是古已有之的。公元前三世纪欧几里得所写的 几何原本 ， 是一本公认的数学经典。这本书不是他的科研专著， 书从数学建模到问题驱动的应用数学 年月中那么多的几何定理， 不都是、 而且恐怕绝大部分并不是他本人发明的。欧几里得的贡献是利用他提出的五个公设及五条公理， 用严格演绎的方法
6、， 将古希腊时代积累下来的众多几何知识构建出一个完整的体系， 一座宏伟的几何大厦。用现在的语言说， 欧几里得为现实世界的空间形式构建了一个数学模型。这个模型十分有效， 在它的基础上发展了一整套的几何学， 以及一整套以演绎推理为核心的数学研究方法， 一直到今天都在发挥着巨大作用。从这个意义上说， 欧几里得应该是历史上久负盛名、 功勋卓著的数学建模大师， 是数学建模的祖师爷， 而他为现实世界所构建的数学模型 欧几里得几何学则一直是数学科学中的瑰宝。除此之外， 开普勒根据第谷的大量天文观测数据总结出来的行星运动三大规律， 后经牛顿利用与距离平方成反比的万有引力公式， 从牛顿力学的原理出发给出了严格的
7、证明， 同样是一个数学建模取得辉煌成功的例子。一些重要力学、 物理学科的基本微分方程， 诸如电动力学中的 方程、 流体力学中的 方程与 方程以及量子力学中的 方程等等， 也无不都是抓住了该学科本质的数学模型， 成为有关学科的核心内容和基本理论框架。数学建模的重要性， 由此可见一斑。现代数学的创始人之一笛卡尔一生致力于揭示一种科学探索的总方法。他认识到， 很多可解的科学难题之所以显得无解， 是由于表达它们的方式不恰当。他认为自己找到了解决任何有关数字和图形难题的方法， 花了很多功夫来演示如何将表面上与数字和图形无关的问题（ 例如物理中的问题） 转换成数字和图形问题。如此转换之后， 问题的形式就大
8、为简化， 各个量之间的关系就可以轻易地观察出来，计算也可以遵循机械的程式。他确信， 任何问题， 无论其初始的表达方式如何粗疏， 都可转换成一个清晰的问题， 使得从已知到未知的道路像数学那样一目了然。我们可以清晰地看到， 笛卡尔所强调的， 实际上就是数学建模的必要性和重要性， 而且他是从一种普遍适用的方法论的角度来强调的。数学的研究对象是现实世界的数学模型数学建模与数学模型的作用与认识应该如何准确定位？对这个问题， 我去年年底在长沙召开的数模竞赛颁奖会上， 曾经概括地说过：“ 数学建模是联系数学与应用的重要桥梁， 是数学走向应用的必经之路。同时， 数学建模还在相关的学科与应用中占有关键性的地位和
9、作用， 现已成为发展现代应用数学的重要突破口和核心内容。抓住了数学建模， 就抓住了联系数学与应用的最重要的纽带， 构建了沟通数学与应用的桥梁， 为数学与应用的有效结合建立了可靠的保证和基础， 并为今后进一步的发展， 包括数学科学本身的发展， 提供了无穷的契机并铺平了广阔的道路。数学建模不仅是数学走向应用的必经之路， 而且是启迪数学心灵的必胜之途。学生通过参加数学建模的实践， 亲自参加将数学应用于实际的尝试， 亲历发现和创造的过程， 可以取得在课堂里和书本上无法获得的宝贵经验和亲身感受， 必能启迪他们的数学心智， 促使他们更好地应用数学、 品味数学、 理解数学和热爱数学。这样做， 不仅集知识、
10、能力和素质的培养与考察三位于一体， 而且面向所有专业的大学生， 得到愈来愈多同学的参与和欢迎， 是对素质教育的重要贡献， 有力地促进了创新型优秀人才的培养。 ”上面这两段话， 第一段说的是数学建模在数学学科、 特别是应用数学学科中的重要作用， 第二段说的是数学建模的训练在培养人才中的重要作用。这样的说法自然都是可以的， 但总还是感到说得没有完全到位， 有一句关键性的话似乎到了嘴边而没有完全说出口来。但到底是哪一句话？自己也不完全清楚。最近南京的译林出版社将 年菲尔兹奖得主、 英国数学家高尔斯（ ） 所著的科普著作 数学 作为牛津通识读本之一翻译出版， 并要我写了一个序。我利用这一机会仔细看了这
11、本书， 发现书中有一节专讲“ 何谓数学模型” ， 篇幅虽不大， 但却对我有很大的启发。他认为， 数学所研究的并非是真正的现实世界， 而只是现实世界的数学模型， 即所研究的那部分现实世界的一种虚构和简化的版本。我们大家都熟悉恩格斯对数学的定义： 数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的一门科学。这是恩格斯从哲学角度对数学所作的一个概括、 中肯也易于为公众接受的说法。从所研究的现实世界第卷第期数学建模及其应用 的那部分抽象出相应的空间形式与数量关系， 就形成了一个数学模型， 构成了数学的研究对象。高尔斯认为数学研究的是现实世界的数学模型这一说法， 和恩格斯的说法实际上是不谋而合的。但高尔斯明确点
12、出了数学模型， 犹如醍醐灌顶， 使我一下子找到了那个呼之欲出的关键词， 也使人对数学建模重要性的认识大大上升了一个层次。值得指出的是， 说这句话的人不是一个应用数学家， 更不是一个以数学建模为主业的人， 而是一个著名的纯粹数学家。这就大大增加了这句话的分量， 增加了它的客观公正性， 而不会被认为是一些人自作多情、 自吹自擂的炒作了。按高尔斯的说法， 数学研究的是现实世界的数学模型， 即其从空间形式和数量关系角度的抽象。而一旦从现实世界中抽象、 简化出了相应的数学模型， 就构成了数学研究的对象， 就要严格遵循数学研究的规定及规律， 在一定程度上脱离了现实世界， 甚至似乎变成了独立的存在。这实际上
13、是高尔斯这个纯粹数学家所强调的重点， 并为他这本书定了基调的。但不管怎样， 作为数学研究对象的数学模型根本上是来自现实世界的， 并要接受现实世界无情而公正的检验， 是深深植根于现实世界之中的。仔细想一下， 整数、 实数， 以及欧氏几何、 线性空间、 群论、 微积分、 集合论， 乃至混沌、 分形等等， 有哪一个不是某一方面的数学模型呢？ ！因此， 数学模型不是数学中的一个细小的领域和分支， 更不是左道旁门， 而是数学的整个研究对象。至于数学建模， 即构造现实世界某部分的数学模型， 就是为数学提供研究对象的基本步骤和原始出发点。按照这样的理解， 整个数学的发展历史就是不断建立数学模型并对其研究逐步
14、深化的历史。各种不同类型、 不同层次的大大小小的数学模型及对其相应的研究， 构成了洋洋大观的局面， 这就是我们现在所面对的数学科学。从这样的认识出发， 数学模型就堂堂正正地进入了数学科学的大殿， 成了数学科学研究的主体， 而数学建模就成了联系数学与现实世界的重要桥梁， 是从现实世界走向数学， 并从数学走向应用的必经之路， 在数学科学中占有关键性的地位和作用， 其重要性是显而易见的。从事数学建模的同志， 打一个通俗的比喻， 好比在构建一个房屋。一旦这个房屋初具规模， 就成了一个数学模型， 以后的应用数学家及纯粹数学家们所做的工作， 就是在此基础上对这个建筑进行内部整理与装修。这些应用数学甚至纯粹
15、数学的内容， 可以到达花团锦簇、 美轮美奂的程度， 但最初的一步都是建模， 都是在数学建模基础上加以发挥和深化的。因此， 我们搞数学建模教学与研究的同志， 一定不要妄自菲薄， 不要自认为不登大雅之堂、 在数学学科中是被边缘化的群落， 更不要错误地认为数学建模的工作只是为水平低、 能力差的人提供的一个饭碗。搞数学建模是给宏伟的数学大厦奠基、 搭架， 为整个后继的数学研究工作开辟道路， 意义重大。大家一定要严格要求， 锐意进取， 理直气壮地努力， 做出与数学建模的重要地位相称的出色成绩来。数学建模的实践要重视的首先是深度， 而不是广度如前所说， 数学模型是现实世界的一个近似的反映， 而近似是有不同
16、要求与层次的， 有好与坏、 精细与粗糙等等的分别， 更有人们关注的不同的侧重面。这就决定了对现实世界中的同一件事， 其相应的数学模型不可能是唯一的， 不可以一锤定终身。相反， 对于一种给定的情形可以有多种方法将其建模， 即有侧重面各不相同的、 不同层次的多种数学模型； 在实际应用中， 人们就可以根据需要选用适当的、 乃至最优的模型。不了解这一点， 认为同一现象只能有一个数学模型， 并将那种最简单的模型作为其唯一的范本， 像小学生那样对号入座地应用， 是不能理解数学模型的奥妙和精髓， 也不能真正发挥数学模型的威力的。先举一个例子来说明这一情况。考察一个机器或建筑的强度， 在应用上是十分重要的课题
17、。如果器件的形状及受力状况比较简单， 用材料力学就可以对付过去， 最多只用到一点常微分方程就可以了，过去工程上就常常用这样的方法。但是， 如果器件的形状以及受力的状况比较复杂， 这样做就不能保证精度， 特别是一些关键部位的精度。这时， 基于材料力学原理所建立的简单的数学模型就必须让位于由弹性力学导出的数学模型。虽然求解由弹性力学方程组所描述的偏微分方程的模型精度提高了， 但问题的求解也变得复杂起来。一开始， 还只能算一些简单的情况， 后来有了电子计算机， 并出现了有限元素法， 再复杂的情况也可以方便地求解， 后来更有了商用的标准软件， 求解有关的问题就不再有任何技从数学建模到问题驱动的应用数学
18、 年月术上的难度了。我当年曾亲眼目睹并亲身参与了这一发展的过程， 感受特别深刻。 世纪 年代初， 有限元素法刚刚引入我们国家， 在数学技术上是一个突破， 一段时间中真正是如鱼得水， 非常红火， 培训班此起彼伏， 培训任务应接不暇， 真有“ 学会有限元， 走遍天下都不怕” 的感觉。但随着该方法的迅速普及， 特别是商业通用软件的出现， 又迅速走向低潮， 无人问津了。这充分说明， 一个成熟的应用数学方法的半衰期是很短的， 搞数学建模及其应用的同志， 如果死抱住一个模型或方法不放， 不与时俱进， 不向问题的深度及广度进军， 必然会被淘汰， 是没有前途的。这样一来， 搞强度计算的人是不是注定要失业， 没
19、有饭吃了呢？当然不是。世界发展无止境， 认识也无止境， 在现实世界中总会不断提出新的问题， 推动人们进一步研究。弹性力学的框架， 假设物体受力作用后会变形， 而在作用力卸载后又会恢复到原先的形状， 同时假设应力与应变成正比。这使弹性力学所反映的是一种线性关系， 使弹性力学方程组是一个线性的偏微分方程组。它虽然看起来复杂， 但还是容易讨论与求解的， 且也有了相当完整的理论和求解方法。但是， 如果面对的是一种非线性材料， 或者物体的变形相当大， 弹性力学中应力与应变的线性关系要由相应的非线性关系来代替， 人们就要由线性弹性力学转向非线性弹性力学， 要求解的偏微分方程就变成非线性的了。对这种非线性弹
20、性力学的数学模型， 在数学理论及计算方法方面加以深入的研究， 现在也还是一个方兴未艾的领域。进一步， 在研究弹性体的变形时， 有时还往往要同时考虑温度的影响， 就要建立相应的热弹性力学数学模型。这时， 还要将线性或非线性弹性力学方程组与温度所满足的热传导方程耦合在一起进行研究， 问题就变得格外复杂了。不仅如此， 考虑到材料具有记忆功能的粘弹性力学方程组， 考虑到物体受力变形、 在力卸载后不会完全恢复到原来的形状所要研究的塑性力学等等， 都是材料强度研究及新材料研制中一直要考虑的问题。问题一步步深化， 难度一步步提高， 数学建模的任务也越来越繁重， 这是一个永无休止的过程。这充分地说明， 同一个
21、物理现象的数学建模总会呈现与时俱进、 生动活泼的状态， 随着精度要求的提高， 随着情况的变化， 会出现不断深入、 不断提高的挑战和机遇。数学建模工作者决不能使自己的认识停留在一个特定的位置上， 抱残守缺， 止步不前， 而应该顺应数学建模生动、 进取、 不断深入的特点， 不断加深自己的认识， 提高自己的水平。只有这样， 才能深切地领悟数学建模生气蓬勃的创新精神和推动力量， 才能深切感受到数学建模的生命力， 才能真正提升自己的境界， 理解数学建模的精髓。从这个意义上看， 我一直觉得我们现在从事数学建模教学与研究的同志们的专业提高方向是有值得商榷之处的。大家的着力点， 不能仅仅满足于收集和整理各种各
22、样建模的实例， 面面俱到， 再分门别类地编出教材或培训读物， 搞一个数学建模 例之类的材料。当然， 从对学生培训的角度看， 这还是有其必要的， 也已经起了积极的作用， 但只能算是初级阶段的成绩和做法， 是有待深化和发展的。首先， 那儿所列出的数学模型基本上都是在做了相当多的假设之下的最最基本而简化了的模型， 其适用程度是有很大限制的。而这些模型的局限性， 它应该向哪些方向深化和发展， 才能更有效地反映相应的现实世界？其进一步的挑战与机遇在哪里？这些往往都略而不提， 最多也只是一笔带过。这会使学生误以为这就是终极的真理， 将一个个这些建模的知识像学习其他课程一样生吞活剥地接受下来， 而很少可能亲
23、身体会建模的曲折、 艰辛、 趣味和意境。如果将建模比喻成建房子， 这样训练出来的学生只会造各种各样的茅草屋， 而不会造一些坚实的建筑， 更不会建高楼大厦， 甚至也没有任何高楼大厦的概念。这是很不理想的， 和数学建模课的初衷也大相径庭。其实， 数学建模的训练， 数学建模能力的培养， 不是靠知识的灌输， 不是靠这样的 例堆积起来的， 而更多地应该是靠深入的体验， 靠举一反三的触类旁通和感悟来实现的。通过选择一个有意义的模型， 由简单到复杂， 展现数学建模的逐步深入和发展的过程， 学生才能真正学到数学建模的方法， 真正领悟到建模的丰富内涵和无限的发展生机， 感受到数学建模的威力和魅力， 起到一通百通
24、的效果。对其他一些建模的案例， 虽然没有讲得那么细致， 学生也可以很容易地把握其内涵， 对建模有一个恰如其分的认识和理解。因此， 数学建模的学习和训练， 数学建模的认识与实践， 着重点不在广度， 而在于深度； 不在于面面第卷第期数学建模及其应用 俱到、 广为收集， 从 例变为 例甚至 例， 而在于有选择地抓住适当的主题向深处进军， 从不同的层面上充分展示数学建模的风采， 引领数学建模的发展， 占领数学建模的制高点， 并为其他方面的数学建模提供参考和借鉴。这样做， 数学建模的实践就不仅是一种教学， 而且是一种科研； 就不仅是一种仅仅传授知识的教学， 而且会对学生知识、 能力及素质的培养真正带来巨
25、大的促进， 说数学建模对数学教学改革的推动作用， 就会更加明确， 也更加理直气壮了。强调数学建模要不断深入， 向深度进军， 就不能认为现有的数学模型， 包括那些已经行之有效、 目前可能有口皆碑的数学模型已经是最终的模型， 已经到了十全十美的境地， 可以永远画上句号了。这是数学建模的一个显著的特点， 是数学建模永远生气蓬勃的标志， 是搞数学建模的老师和学生应该树立的坚定的信念， 也是大家应该永不停步， 坚持奋斗的动力。近几年， 我们鼓励在数学建模竞赛后进行后续研究， 也是基于这样的考虑。这方面目前的反应不是很热烈， 说明大家的认识并没有得到很好的统一， 也说明大家的兴奋点还是更多地停留在“ 得不
26、得奖” 这样一些浅表而功利的目标上。为了推动这一后续研究工作， 我在上次颁奖仪式的发言中专门加了一大堆话。当时我是这么说的：“ 数学建模竞赛的时间只有三天， 要求参赛队在这一段时间中将一个实际问题解决到尽善尽美的程度是不切实际的。每个成功的参赛队， 都有其独特的视角和成功的表现， 但也一定会留下不少缺憾， 甚至还有一些更好的想法因时间关系来不及实施。这一点， 即使得到高教社杯的队也不可能例外。如果认为自己的解答已经天衣无缝、 十全十美了， 对这种用“ 程咬金的三斧头” 在短期内提供的答案心满意足， 那就是一种认识上的局限性， 反映了在学术上缺乏高超的境界和进一步的追求， 也反映了对从事科研、
27、探索未知的艰苦性与长期性缺乏足够的心理准备， 今后就很难走得更远。为了将数学建模的理论与实践进一步引向深入， 全国组委会近年来设定了一些赛后继续研究的课题， 希望各个赛区充分利用这一个条件， 促进广大师生积极参与赛后的继续研究， 进一步充实、 提高自己。在今后的数学建模竞赛中， 是否可明确要求每个参赛队都必须写出有哪些不足之处及今后可以深入研究的设想和打算， 并将这一内容作为评选的一项重要的标准， 进一步检测我们参赛队的境界和水平。 ”这段话是说给参赛的同学们听的， 有了我前面的这一大段发言， 它的意思应该更加清楚了吧！数学建模工作者应成为问题驱动的应用数学研究的生力军前面说到数学建模如果注意
28、向纵深发展， 就不仅是一种教学， 而且是一种科研。从单纯横向地收集各种案例， 到有选择性地纵向深入， 跨出了这一步， 就应该进入了问题驱动的应用数学研究的范围。我们国家自 年起， 在国家自然科学基金会（ ） 的支持和推动下， 大力提倡“ 问题驱动的应用数学研究” ， 鼓励优秀的数学家与青年才俊直面国民经济、 高新技术及其他科学领域中的现实需求， 积极投身相关应用项目的研究。这种以问题驱动而不是以论文驱动的研究方式， 是工业与应用数学的重要标志和特有优势， 其核心是紧密结合与服务于实际的需要，突出对数学建模及算法的重视与创新， 并在此基础上在应用数学方面做出独创的贡献。这样做， 相信不仅会极大地
29、推进数学与工业之间的密切结合， 而且会别开生面地推动数学概念、 方法及理论的原始创新， 有助于在数学与工业之间架设桥梁， 也有助于跨学科、 复合型人才的培养。我国的工业与应用数学工作者现在已愈来愈认识到开展问题驱动的应用数学研究的重要性， 开始自觉地转移自己的研究模式。而一些有远见的企业更明确提出了算法是它们的核心竞争力， 从企业的角度回应和支持了问题驱动的应用数学研究模式。在统一认识的基础上， 中国国家自然科学基金会已先后推出了支持问题驱动的应用数学研究的一系列项目， 包括项重大研究计划、项重大项目、 项重点项目及一批面上项目， 总金额近 亿元人民币， 有力地推动了这一研究， 已形成了一定的
30、声势和规模， 并相信能持之以恒、 蔚然成风。最近， 天津市已决定筹建天津应用数学中心， 这无疑将会是对问题驱动的应用数学研究的一个有力的推动与促进。应该指出， 现在大力提倡与推动问题驱动的应用数学研究， 并不是心血来潮的产物， 而是有着深刻的原因和依据的。从数学建模到问题驱动的应用数学 年月一方面， 今天的应用数学正处于迅速从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段， 一个突出的标志是数学的应用范围空前扩展， 从传统的力学、 物理等领域拓展到化学、 生物、 经济、 金融、 信息、 材料、 环境、 能源等各个学科及种种高科技甚至社会领域。由于很多新领域的规律还在探索之中， 有关的数学建模不仅并非轻而
31、易举， 而且具有实质性的困难， 至今仍是我们面临的严峻挑战。因此， 数学建模不仅进一步凸显了它的重要性， 而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分， 并为应用数学乃至整个数学科学的发展提供了进一步的机遇和无限的生机。回顾一下二战期间， 由于高速飞行、 核弹设计、 火炮控制、 物资调运、 密码破译及军事运筹等方面迫切需要的有力推动， 数学不仅在其中发挥了重大的作用， 而且带动了一批新的应用数学学科（ 控制论、 运筹学、 对策论、 密码学、 计算流体力学等） 的迅速兴起。现在， 我们面临的是综合国力竞争这一场新的“ 战争” ， 其对科技发展的需要实际上更为深入和迫切。在这新一轮的问题驱动面前， 我
32、们有理由相信， 新的数学概念、 思想和方法， 甚至新的应用数学分支将可能应运而生， 富有活力的原始创新也将由此发源。只有抓住这样的挑战和机遇， 我们才能抓住现代应用数学发展的主流和脉搏， 才能在这些新颖而丰富多彩的客观需要的推动下， 迎来我国应用数学的一次跨越式的大发展。另一方面， 从我国应用数学队伍的实际状况来看， 有相当一些人打的虽是应用数学的旗号， 但和应用基本不搭界， 对问题的模型及来龙去脉也不甚了解， 对新兴而丰富多彩的应用需求视而无睹， 主要还是靠文献驱动从事一些第二手的研究， 做的大多只能是二流、 三流甚至不入流的工作。其结果必然会割断数学与实际生活、 与外部世界的生动活泼的血肉
33、联系， 大大限制了数学对科技发展、 经济建设和社会进步所能发挥的作用， 大大抑制了原创性数学概念、 方法和理论产生的源头， 也造成了我国的应用数学与发达国家之间的明显差距， 这已成为目前我国应用数学发展的一个重要的瓶颈。这样看来， 强调“ 问题驱动的应用数学研究” 应该是迫在眉睫。从事数学建模的工作者， 不要抱怨说没有研究方向和课题， 不要捧着金饭碗讨饭。只要你对经过选择的数学建模内涵着意向纵深方面发展， 无论是数学建模本身， 还是对建立的数学模型进行理论分析或提供算法， 都会愈来愈走向高级的程度和深入的境界， 都会愈来愈显示出自己的创新能力和贡献。这是一种有意义的科学研究， 而且是货真价实的
34、问题驱动的应用数学研究。如果在这个过程中， 能有意识地创造条件和有关应用部门的同志们联手， 建立起比较经常、 可靠而且稳定的协作关系， 更可以得到来自实际需求的推动， 将研究工作不断引向深入， 并可望将研究成果在实际中得到应用， 并经受考验， 从而转化为现实的生产力， 为国民经济和科技发展做出贡献。从这个意义上说， 从事数学建模的工作者无疑最贴近问题驱动的应用数学这一研究模式， 也一定能通过坚持不懈的努力， 对问题驱动的应用数学研究做出突出的贡献， 同时对数学建模的实践与竞赛也会做出更大的贡献。我在上次的颁奖会说： 希望我们现有的一大批热心从事数学建模竞赛工作的教师， 包括全国组委会及专家组的
35、成员， 以积极从事数学建模竞赛为契机， 挑选适当的主题深入钻研， 为我国发展问题驱动的应用数学研究努力做出自己的贡献， 为进一步提高数学建模竞赛的质量注入新的生机和活力。这一番话， 我的确是有感而发， 不是随口说说的。我希望并相信， 参加数学建模实践及竞赛的广大老师和同学， 应该积极投入到问题驱动的应用数学研究中， 并努力成为开展问题驱动的应用数学研究的生力军， 甚至是主力军。真正做到了这一点， 我们国家在问题驱动的应用数学研究方面一定会出现一个崭新的面貌， 而数学建模的教学、 科研与竞赛， 也必然会更上层楼， 在本质上提高到一个新的水平。怎样的数学模型是一个好的数学模型对所建立的数学模型的好
36、坏， 应该有判别的规则。这样做， 难免仁者见仁， 智者见智， 也可能会提出好多条不同的标准。这儿， 我只想从两个方面简单归纳一下我自己的看法。首先， 从数学模型应该是相应现实世界的近似反映这个角度看。一个好的数学模型， 应该能充分体现所反映的现实世界的特点， 这是反映现实世界某一方面的数学模型不同于反映现实世界另一方面的数学模型的最根本的依据。将这一特点充分体现出来， 相应的数学模型也就有了自己的特点或特色， 才第卷第期数学建模及其应用 能很好地反映那一部分现实世界， 也才可能提出有独特要求的数学研究任务。当然， 说很好地反映相应的现实世界， 不是靠自己主观的愿望， 更不是靠个人武断的结论，
37、而归根结底要靠实践的检验。建立了一个数学模型以后， 如果经过分析与计算， 所导致的结论在定性或者定量方面和实际情况还有很大的差距， 那就还要回过头来修正原先建立的数学模型， 一直到取得比较满意的结果为止。只有最后经过实践检验为有效的数学模型， 才能算是成功的数学模型。因此， 数学建模不仅要顾“ 头” ， 而且要顾“ 尾” ， 要照顾到全过程。一个好的数学模型的建立， 通常不可能一蹴而就， 而是要经过反复的试验与迭代， 才能够形成。从应用的观点看， 最后的效果能不能符合实际的情况和需求， 能不能对有关的实践提出积极而有效的建议， 是判定一个数学模型好坏的最终的标准。接下来， 我们换一个角度， 从
38、数学模型是数学研究的对象这一个角度来看。既然数学模型是数学研究的对象， 它就要符合数学上的规矩及特点。首先， 它在数学上应该是自洽、 相容、 没有矛盾的。对于一个用偏微分方程描述的数学模型， 由它所提供并希望求解的问题（ 称为定解问题） ， 通常要求其解应该是存在的、 唯一的， 而且要经得起小的扰动， 即具有存在性、 唯一性及稳定性。这三者合起来称为适定性，其英文为 ， 就是说是一个提得好的问题。否则， 在数学上就显得不合理， 而相应的数学模型就存在这样或那样的问题了。这就是一个重要的原则： 所建立的数学模型在数学上看应该是一个好的合理的模型， 否则就没有资格成为数学研究的对象， 也就不可能对
39、它进行研究了。如果所建立的数学模型能够导致新的数学思想、 新的数学概念、 新的数学方法或新的数学理论， 能够促进原则性的数学研究工作， 那就格外值得看重了。此外， 建立了数学模型， 通常不仅要对其进行定性方面的研究， 更要达到“ 胸中有数” ， 要对其进行定量方面的研究， 即求出它的解。这就要求这个模型应该是可以计算的， 而且是可以方便地进行计算的。这就提出了又一个重要的原则： 所建立的数学模型从计算的角度看应该是一个好的模型。一个模型尽管单纯从数学的角度看是合适的， 但如果不方便计算或无法控制实际计算时出现的误差， 就还要从减低计算复杂性或计算误差的角度， 对其进行化约或改造， 而提出新的数
40、学模型。这样做， 有时会导致新的数学概念、 方法和理论的产生， 其意义不可低估。在对多尺度现象的研究中， 为了将一个多尺度的模型近似地简化为一个单尺度的模型， 促成了均匀化理论与方法的提出与发展， 就是一个突出的例子。近年来更出现了可计算数学建模这一提法， 这是着重关心科学计算的同志们提出来的， 而且国家自然科学基金委员会还建立了一个重大研究计划， 对此专门进行研究。当然， 这两个重要的原则， 应该是一个与时俱进的标准， 在具体判别时， 要密切联系数学科学和计算科学当时的发展程度， 并不是一成不变的。偏微分方程模型通常强调的适定性要求固然非常重要， 一直是一个重要的判别标准， 但是不适定的问题
41、， 特别是以不适定性为特征的反问题， 近年来的研究已轰轰烈烈地开展起来， 就是一个明显的例子。至于计算的能力及效率， 更密切依赖于科学技术和计算工具的进步以及计算科学的发展。我这儿只举一个例子。欧拉是 世纪最伟大的数学家， 在他众多的卓越贡献中， 有一个重要的贡献就是他基于质量、 动量和能量守恒原理， 建立了流体力学的方程组。这是一个用非线性偏微分方程组描述流体力学的数学模型， 即流体力学的基本方程组。这个方程组一直都在发挥重要的作用， 现在的流体力学教科书上所写的也还是欧拉当年的方程组， 并通称为欧拉方程组。这个数学模型是由一些非线性偏微分方程所耦合起来的复杂的方程组， 在欧拉所处的 世纪，
42、 对偏微分方程的研究才刚刚起步， 求解偏微分方程的能力也很低， 更没有电子计算机这样的先进计算工具， 因此不仅重要的定性研究无法进行， 而且定量的计算也是不可设想的。由此可以说， 欧拉的这一工作远远超越了他所处的时代， 是真正的创新。在当时， 这一数学模型在数学上是否是一个自洽的、 合适的模型应该说是还不清楚的， 更谈不上是一个可计算的数学模型。但是到了现代， 有了偏微分方程和计算方法方面的长足发展， 有了计算机的飞速进步， 欧拉方程组的计算已经不成问题， 且已被用于很多高科技领域， 同时有关欧拉方程组的适定性方面的研究虽还一直方兴未艾， 但已有了很多深入的成果了。这就是说， 欧拉为流体力学所
43、建立的偏微分方程的数学模型， 不仅已公认是一个数学上合适的模型， 而且在当代还是一个可计算的数学模型。我们对数学模型的认识和评判， 因而必然是一个与时俱进的过程； 我们对数学模型的认识、 实践与从数学建模到问题驱动的应用数学 年月研究， 也应该不断深化， 决不能停留在一点上， 这又回到我在前面已经说过的内容了。从数学的角度看待一个数学模型的好坏， 还应该有一个美学的标准。在数学上， 天衣无缝是一种美， 简洁明了也是一种美。究竟什么是美呢？萝卜青菜， 各有所爱， 对美的看法和感受各人是不同的， 也不必强求一律。我这儿只想强调一点。对客观世界中的同一件事物， 可能有种种不同的数学模型， 如果根据实
44、际应用的需要， 要你选择一个最好的， 那时美学的标准就可能发挥作用了。我的看法是： 在符合实际需要的前提下， 最简单明了的那一个模型就是最好的一个。道理很简单。利用数学模型来研究现实世界， 目的是为了说明或改造现实世界， 如果能够刺刀见红， 一下子直奔主题， 又何乐而不为呢？ ！我的老师、 著名数学家陈建功教授在给我们上课时曾经说过： “ 最简单的证明， 就是最好的证明。 ” 我是把这句话作为一种美学标准接受下来的， 并且成了我在数学教学与研究中的一个座右铭。我觉得， 这个原则， 也适用于对数学模型优劣的判断。首先， 符合实际需要是一个大的前提， 决不能随心所欲、 为简化而简化， 决不能为了便
45、于处理， 做那种大刀阔斧、 面目全非的简化， 建立一些与现实世界风马牛不相及的“ 数学模型” 。一切应该从实际出发， 能简单时就简单， 该复杂时就复杂， 不能有主观随意性。其次， 在建模时要注意抓主要矛盾， 不要为复杂而复杂， 更不能故弄玄虚、 画蛇添足， 自己给自己添麻烦。为现实世界做近似建立数学模型， 不能胡子眉毛一把抓， 要抓住那些起关键作用的因素， 而排除那些次要因素， 才能建立起切中要害的数学模型，并发挥重要作用。主次不分、 以次充好， 不仅会增加难度， 而且会影响精度， 是很不合算的。如果把一些次要因素增加进来， 人为地使问题复杂化， 还认为是自己的创新或发明， 甚至自吹自擂， 那
46、就更可笑了。再次， 看一个模型的好坏， 不能只看所采用的数学工具， 认为用了高深工具的就好，用了常规武器的就不好。其实， 一个模型如果能用比较简单的工具干净利落地解决问题， 能对现实问题提供可靠而有用的解答， 就应该得到称赞， 别人就不应该挑剔其所用数学工具是否不够先进。该用先进工具的时候就要用先进工具， 但不必用先进工具、 用常规武器已经可以搞定的时候， 就不必“ 杀鸡用牛刀” ， 而只需要用常规武器， 并且应该认为这是自己的一个优势， 大可不必自惭形秽的。关键的问题是善于学习要不断提高数学建模工作的水平， 并将其逐步引向深入， 要从数学建模的教学与实践走向问题驱动的应用数学研究， 对广大数
47、学建模工作者来说， 关键的问题是善于学习。毫无疑问， 从事数学建模工作的同志， 通过日常的教学与工作， 努力收集各种建模的案例， 并加以归纳整理， 已经起了明显的作用。古人说： “ 熟读唐诗三百首， 不会吟诗也会吟。 ” 现在， 也可以说是“ 熟悉建模三百例， 不会建模也会建” 。但只是熟读唐诗三百首， 生搬硬套， 恐怕勉强凑出来的诗难免落套， 甚至平庸， 很难进入佳作之列， 所以， 古人又有“ 功夫在诗外” 这样精辟的说法。数学建模也是一样， 单靠熟悉建模三百例， 刻意模仿， 依样画葫芦， 也必定很难真正有所建树， 难以将数学建模的工作做到出类拔萃。怎样才能做到“ 功夫在诗外” 呢？应用数学
48、， 就其本性来说， 是生动活泼、 不断进取的。新的应用数学概念、 方法与理论不断出现， 而一个成熟的应用数学方法， 前面已经说过， 其半衰期又往往很短， 就像滚滚东流的长江， 一浪接着一浪，一浪高过一浪。从我工作以来， 自 世纪 年代中期开始， 就不时有一些应用数学方面的热点甚至热潮出现， 常常一下子独领风骚， 不少人趋之若鹜， 甚至蜂拥而上， 但过一阵子， 又会慢慢归于平淡， 甚至似乎销声匿迹。这些应用数学的大大小小的浪潮， 现在想得起来的， 就有线性规划、 有限元素法、 样条插值、 快速 变换、 统筹方法、 优选法、 试验设计、 小波、 混沌、 分形、 神经网络、 数据挖掘、 压缩感知、大
49、数据等等。这充分反映了应用数学高度活跃的发展态势， 也给应用数学工作者提出了不断学习的任务。我们从事数学建模的工作者， 为了跟上时代的步伐， 为了将建模提到更高的水平， 就不能不加速知识更新的步伐， 就不能不关注这些应用数学方面的发展动态， 对它们做一个哪怕是粗线条的了解和把握， 努力扩大自己的知识面。这就提出了进一步学习的任务。但是这样的学习， 只注意跟着浪头走， 往往可能是很浅表的， 也是难以发挥深入作用的。要学得深入， 真正确有成效， 还要注意两个更基本方面的学习和提高。第卷第期数学建模及其应用 一方面， 要不断提升自己的数学素养。搞数学建模， 固然绝不是数学造诣高的人的专利， 但也不是
50、数学功底差的人的一个避风港。新的应用数学概念、 方法和理论虽然层出不穷， 看上去琳琅满目， 但万变不离其宗， 其深刻的根源仍是根植在数学本身这块沃土上。只有加深数学方面的修养， 才能深刻领悟有关的变化， 才能抓住新概念和新方法的实质， 从而真正地理解它、 驾驭它、 应用它。我这儿举一个亲身经历的例子。在 世纪 年代初， 当时我在解决实际问题中已经会用有限差分法来求解偏微分方程，只要将导数用差商来代替， 就得到了相应的计算格式， 原理很清楚， 用矩形的网格很规则， 也很好用， 但对形状复杂的物体， 却难以很好地照顾到边界。这时， 和我们协作的应用部门的一个同志对我说， 听说国外有方法可以用任意的
51、方式配置节点， 用大大小小的三角形组成的网格来进行计算。我一时感到匪夷所思， 用差商来近似代替导数怎么可以用倾斜的网格呢？ ！等找了有关的资料一看， 原来是将偏微分方程的边值问题先化为一个等价的变分问题， 然后对变分问题进行离散化处理， 就得到了问题的近似解。我一下子就进入了角色， 对当时刚刚进入我国的有限元素法很快就有了正确的理解， 并立刻参加到当时在国内普及有限元素法的热潮中去， 也着实风光了一把。能够迅速做到这一点， 不是因为别的， 而是我早就念过前苏联米赫林著的 数学物理中的变分方法 这本书， 知道偏微分方程的边值问题可以等价地化为一个变分问题 即泛函求极小的问题， 而且知道这种变分问
52、题可以通过选取一组适当的基来近似求解。只是米赫林书中只用了在整个区域中光滑的基函数， 应用起来并不方便。现在的有限元素法在任意三角形剖分下， 用了由分块光滑插值所构成的基， 在应用上就带来了突破， 凸显了有限元素法的威力， 也激活了我过去在这方面理论上的储备， 给了我一种豁然开朗的感受。这个小例子足以说明， 数学上的积累是深刻理解新的应用数学概念和方法的极为重要的基础， 它会使你一下子抓住本质，进入角色。否则， 恐怕只能生搬硬套， 知其然而不知其所以然， 是注定走不远的。类似地， 对于小波， 也只有过去在函数逼近论及样条插值等方面有基础的人， 才能一下子抓住它的本质， 并迅速开展深入的工作。另
53、一方面， 单单具有在数学方面的修养， 还不足以成为一个真正意义下的应用数学工作者， 也不足以成为一个优秀的数学建模工作者， 还需要在与数学有较多交叉与融合的某一或某些学科方面有较多的了解和领悟， 有基本的共同语言。对于数学出身、 以数学为主业的数学建模工作者来说， 这可能是更难过的一道坎。我在文化大革命之前所接受的基本上是纯粹数学性质的训练。虽然在大学学习期间念过普通物理和理论力学， 后来结合科研也多少懂得了一些气体动力学的内容， 但走到工厂， 或参加一些论证重要应用课题的会议， 往往不知所云， 缺乏最基本的共同语言和判断力。这就难以在数学的实际应用中发挥作用， 更谈不上在应用需求与数学之间架
54、设一个桥梁， 在数学建模方面有所作为。到了文化大革命的中后期， 前几年汹涌澎湃的革命浪潮多少有所减弱， 我被下放到上海闵行的上海电机厂及上海汽轮机厂接受“ 工人阶级的再教育” ， 参加当时的“ 教育革命” 。这使我有机会在较长时期中直接接触了不少工人和技术人员， 了解到工厂中的很多技术问题本质上是一些数学问题， 亲身参加了解决一些实际课题的实践， 同时也充分暴露了自己知识贫乏， 对工程实践缺乏最基本的了解， 与工人及技术人员没有共同语言等这些客观存在的严重问题。那时， 是“ 知识越多越反动” 的时期， 很多人明哲保身地当起了逍遥派， 我却做了一个后来看来很明智的选择： 利用在工厂相对安静的环境
55、， 抓紧时间从头认真自学了理论力学、 材料力学、 弹性力学、 电动力学及量子力学等物理与力学方面的基本课程， 并做了详细的笔记； 同时， 还结合工厂的实践， 自学了发电机、 电动机及汽轮机等方面的工科教材， 还学会了编制计算机程序及上机计算。所有这些， 为我走进应用数学这一对我来说全新的领域奠定了基础， 并从此开始踏上了一个应用数学工作者的漫漫征程。我后来能够作为一个应用数学家走上国内外的数学讲坛， 在很大程度上得益于这段时间中坚持不懈的学习和积累。正是这一个学习和积累， 使我能在有准备的情况下面对并抓住后来的种种机遇。在我一生中所碰到的最最困难的逆境中， 这种学习使我心安， 使我充实， 更使我充满了信心和力量； 这种学习意义重大， 影响深远， 我永远不能忘怀。如果大家也能够从中多少感受到一些什么， 我就格外高兴了。讲的已经太多了， 就在这儿打住吧！谢谢大家！
