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1、进入 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 名师伴你行 返回目录 1.如果ax=N(a0,且a1)，那么数x叫做 , 记作 ，其中a叫做 ，N叫做 . 2.对数的性质: (1)1的对数等于 ; (2)底数的对数等于 ; (3)零和负数没有 . 3.以10为底的对数叫做 ,log10N记作 . 4.以无理数e=2.718 28为底的对数称为 ， logeN记作 . 以a为底N的对数 x=logaN 对数的底数 真数 0 1 对数 常用对数lgN 自然对数 lnN 名师伴你行 返回目录 5. alogaN= . 6.对数换底公式为 . 7.如果a0，且a1，M0;N0，那么： （1）loga(M
2、N)= ； loga(N1N2Nk)= ; （2）loga = ; （3）logaMn= . N logaM+logaN logaN1+logaN2+logaNk logaM-logaN nlogaM logbN= 名师伴你行 返回目录 学点一 不查表计算对数值 计算下列各式的值: (1) ; (2) ; (3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2lg5; (4)lg500+lg - lg64+50(lg2+lg5)2. 【分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用. 名师伴你行 返回目录 【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式=(lg2+lg5)(lg2)2-lg2lg5+(l
3、g5)2+3lg2lg5 =(lg2)2-lg2lg5+(lg5)2+3lg2lg5 =(lg2+lg5)2=1. 名师伴你行 （4）解法一：原式=lg（50085）-lg +50lg(25)2 =lg800-lg8+50 =lg +50=lg100+50=2+50=52. 解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5- lg82+50 =lg100+50=52. 返回目录 【评析】（1）对于有关对数式的化简问题，解题的常 用方法：“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（ 差）；“收”：将同底的和（差）的对数收成积（商） 的对数. （2）分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆 项、并项
4、不是盲目的，它们都是为了求值而进行的. 名师伴你行 返回目录 计算下列各式的值: (1)lg52+ lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2) ; (3) 名师伴你行 返回目录 (1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2 =2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3. (2)原式= . (3)原式= 名师伴你行 返回目录 学点二 求值问题 【分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为 2,3的常用对数,再代入计算. 【解析】解法一: = lg45= lg = (lg9+lg10-lg2) = (2lg3+1-lg2) =lg3+ -
5、lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5 =0.826 6. 已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求 的值. 名师伴你行 返回目录 【评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用,体 会lg2+lg5=1性质的灵活运用. 解法二: = lg45= lg(59) = (lg5+2lg3) = (1-lg2+2lg3) = - lg2+lg3=0.826 6. 名师伴你行 返回目录 (1)用lg2和lg3表示lg75; (2)用logax,logay,logaz表示loga . (1)原式=lg(253)=lg(523)=2lg5+lg3 =2lg（ ）+lg3=2(1-lg2
6、)+lg3=2-2lg2+lg3. (2)原式=loga(x4 )-loga =4logax+ loga(y2z)- loga(xyz3) =4logax+ (2logay+logaz)- (logax+logay+3logaz) = logax+ logay- logaz. 名师伴你行 返回目录 学点三 条件求值 已知log189=a,18b=5,求log3645. 【分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形. 【解析】解法一：log189=a,18b=5,log185=b, 于是log3645= = 解法二：log189=a,18b=5,log185=b, 于是log3645 = . 名师
7、伴你行 返回目录 【评析】（1）解决这类问题，要注意分析条件和所 求式子之间的联系，找到联系就找到了思路. （2）当出现多个不同底的对数时，往往要用换底公 式统一成适当的同底来解决，要有“化同底”的意识. （3）题中利用了“方程组”的观点，把log32,log35作为 两个未知数处理. 名师伴你行 (1)已知6a=27,求log1618; (2)已知log310=a,log625=b,求log445. 返回目录 (1) 6a=27,a=log627= , log23= . log1618= . (2)a=log310=log32+log35 b=log325log36= 由可知log32= ,
8、log35= . 于是log445 = . 名师伴你行 返回目录 学点四 对数方程 已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x. 【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法 ，利用换底公式可得logaN=loganNn(N0,n0). 【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5), (x-1)2=x+5,x2-3x-4=0, 解得x=-1或x=4. 将x=-1，x=4分别代入方程,检验知x=-1不合题意，舍去. 原方程的根为x=4. 【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化 为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域， 因此，在解对
9、数方程后要验根. 名师伴你行 返回目录 (1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为 . (2)方程lgx2-lg(x+3)=lga(a(0,+)在区间(3,4)内有解， 则a的取值范围为 . (1) (2)32a0 f(3)0, 320,a0,a1,要注意,只有所得结果中对数和所给 出的数的对数都存在时,等式才能成立. 例如:log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3),log2(-5)都不 存在,因此，不能得出log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5);又如 log10(-10)2是存在的,但log10(-10)无意义,因此，不能得出 log10(-10)2=2log10(-10). 返回目录 名师伴你行 返回目录 1.ab=N与logaN=b是a,b,N同一关系的两种不同的表示 形式，应熟练掌握其转化关系，这也是解指数方程 和对数方程的常用方法. 2.在对数式logaN=b中，规定了a0，且a1，这一 条件在所有对数关系中都成立. 3.在对数式logaN=b中，N0，这一限制条件在研究 对数方程等方面都应注意. 名师伴你行
