《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第十七章 圆锥曲线与方程 17.2 抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第十七章 圆锥曲线与方程 17.2 抛物线（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学(江苏省专用) 17.2 抛物线 考点 抛物线 1.(2017课标全国理改编,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线 l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 . 统一命题省(区、市)卷题组 五年高考 答案 16 解析 如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1, 则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得 = =cos , 则|AF|= ,同理,|BF|= , 则|AB|=|AF|+|BF|= ,即|AB|= , 因l1与l2垂直,故
2、直线DE的倾斜角为+ 或- , 则|DE|= ,则|AB|+|DE|= + = = = , 则易知|AB|+|DE|的最小值为16. 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线y2=2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为, 则在FEA中,cos =cosEAF= = , 则可得到焦半径|AF|= ,同理,|BF|= , 熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如: + = 等的帮助很大. 2.(2016课标全国改编,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴, 则k= . 答案 2 解析
3、 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k0)得k=12=2. 评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键. 3.(2013课标全国理改编,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 . 答案 y2=4x或y2=16x 解析 以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+ =5得M . 从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 ,点N的横坐标恰好等于圆的半径, 圆与y轴切于点(0,2),从而2= ,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=1
4、6x. 评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p的方程是求 解的关键. 4.(2014四川改编,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, =2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是 . 答案 3 解析 依题意不妨设A(x1, ),B(x2,- ), =2 x1x2- =2 =2或 =-1(舍去). 当x1=x2时,有x1=x2=2,则SABO+SAFO=2 + = ;当x1x2时,直线AB的方程为y- = (x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是SABO+SAFO= 2( + )+ =
5、 + 2 =3 当且仅当 = 时取“=” ,而 3,故填3. 5.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A ,B ,抛物线上的点P(x,y) . 过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值. 解析 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基 本思想方法和运算求解能力. (1)设直线AP的斜率为k,k= =x- , 因为- 0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A 的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正 三角形.
6、 (1)求C的方程; (2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E, (i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标; (ii)ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知F . 设D(t,0)(t0),则FD的中点为 . 因为|FA|=|FD|, 由抛物线的定义知3+ = , 解得t=3+p或t=-3(舍去). 由 =3,解得p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0), 设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由xD0得xD=x0+2
7、,故D(x0+2,0). 故直线AB的斜率kAB=- . 因为直线l1和直线AB平行, 设直线l1的方程为y=- x+b, 代入抛物线方程得y2+ y- =0, 由题意= + =0,得b=- . 设E(xE,yE),则yE=- ,xE= , 当 4时,kAE= =- = , 可得直线AE的方程为y-y0= (x-x0), 由 =4x0, 整理可得y= (x-1), 直线AE恒过点F(1,0). 当 =4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0), 所以直线AE过定点F(1,0). (ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0+ +2
8、. 设直线AE的方程为x=my+1, 因为点A(x0,y0)在直线AE上, 故m= , 设B(x1,y1), 直线AB的方程为y-y0=- (x-x0), 由于y00, 可得x=- y+2+x0, 代入抛物线方程得y2+ y-8-4x0=0. 所以y0+y1=- , 可求得y1=-y0- ,x1= +x0+4, 所以点B到直线AE的距离为 d= = =4 . 则ABE的面积S= 4 16, 当且仅当 =x0,即x0=1时等号成立. 所以ABE的面积的最小值为16. 评析 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中 的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性
9、较强、难度较大,很好地考查了考生的逻 辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定. 1.(2014辽宁改编,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限 相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为 . C组 教师专用题组 答案 解析 设直线AB的斜率为k,易知p=4,抛物线方程为y2=8x,与直线AB的方程y-3=k(x+2)联立,消去x 整理得ky2-8y+16k+24=0,由题意知=64-4k(16k+24)=0,解得k=-2或k= .因为直线与抛物线相切 于第一象限,故舍去k=-2,故k= ,可得B(8,8), 又F(2,0),
10、故kBF= = . 评析 本题主要考查直线与抛物线内容,考查内容全面合理,难度适宜,考查学生分析问题、解 决问题的能力. 2.(2013湖南理,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且 k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦 所在直线记为l. (1)若k10,k20,证明: 0,k20,k1k2, 所以0k1k20时,y= ,且y= , 又点A(3, )在曲线C上, 曲线C在点A(3, )处切线的斜率k=y|x=3= , 所求切线方程为y- = (x-
11、3),即x- y-1=0. (2)设l:y=kx(k0),由 得k2x2-2x+4=0, 由=4-16k20,即16k24). 2.(2016江苏南京调研,22)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的准线l与x轴交于点M,过 M的直线与抛物线交于A,B两点.设A(x1,y1)到准线l的距离为d,且d=p(0). (1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程; (2)若 + =0,求证:直线AB的斜率为定值. 解析 (1)由条件知,A ,代入抛物线方程得p=1. 所以抛物线的方程为y2=2x. (2)证明:设B(x2,y2),直线AB的方程为y=k (k0). 将直线AB的方程代入y
12、2=2px, 消去y得k2x2+p(k2-2)x+ =0, 所以x1= ,x2= . 因为d=p,所以x1+ =p, 又 + =0,所以x1+ =(x2-x1), 所以p=x2-x1= , 所以k2=2 -2,所以直线AB的斜率为定值. 3.(2015江苏无锡期末,22)如图,抛物线关于y轴对称,它的顶点为坐标原点,点P(2,1),A(x1,y1),B(x2,y2)均 在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)若APB的平分线垂直于y轴,证明直线AB的斜率为定值. 解析 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为x2=2py(p0), 因为点P(2,1)在抛物线上,所以22=2p1,解得p=2,
13、故所求抛物线的方程是x2=4y. (2)证明:由题知kAP+kBP=0,所以 + =0, 即 + =0,所以 + =0, 所以x1+x2=-4, 所以kAB= = = =-1. 所以直线AB的斜率为定值. 解答题(共50分) 1.(2017江苏苏州自主学习测试)已知抛物线C的方程为y2=2px(p0),点R(1,2)在抛物线C上. (1)求抛物线C的方程; (2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线AR,BR分别交直线l:y=2x+2于M,N 两点,求|MN|最小时直线AB的方程. B组 20152017年高考模拟综合题组 (时间：45分钟 分值：50分) 解析 (1)
