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1、章 平面向量与复数章 平面向量与复数 第36课 平面向量的数量积 课 前 热 身 激活思维 3 2. (必修4P88练习4改编)已知向量a(1，1)，b(2，x) 若ab1，则实数x_. 【解析】因为ab2x1，所以x1. 1 7 4. (必修4P88练习4改编)已知向量a(1,2)，b(x,4)，且ab 10，则|ab|_. 5. (必修4P81习题13改编)若|a|2，|b|4，且(ab)a， 则a与b的夹角为_ 1. 两个向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab|a|b|cos ，其中|b|cos 称为_规定：零向量 与任一向量的数量积为0. 知识梳理 向量b在a方向上
2、的投影 2. 两个向量的数量积的性质 设a与b是非零向量，是a与b的夹角 (1) 若a与b同向，则ab|a|b|；若a与b反向，则ab _.特别地，aa|a|2. |a|b| ab 3. 数量积的运算律 (1) 交换律：abba. (2) 数乘结合律：(a)ba(b) (3) 分配律：(ab)cacbc. 课 堂 导 学 利用向量的数量积求向量的模和夹角 例 1 (2) 若两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角 为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的 取值范围 【解答】(2) 由题意知(2te17e2)(e1te2)0， 又因为|e1|2
3、，|e2|1，e1，e2的夹角为60， 所以e1e221cos 601， 所以2t22(2t27)7t0， 即当0时，a与ab共线 (1) (2016浙江卷改编)已知平面向量，|1 ，(2,0)，(2)，那么|2|_. 例 2 5 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x轴 、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xDy，设DCa，DP x(0xa)，所以D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， (例2(2) 变式 7 向量数量积的综合应用 例 3 (例3) 备用例题 (备用例题(1) 方法二：如图(2)，建立平面直角坐标系xAy，设DAB ，则A(0,0)
4、，B(4,0)，D(3cos，3sin)，C(3cos2,3sin)， M(2cos，2sin) (备用例题(2) 课 堂 评 价 2. (2016南师附中模拟)已知向量a，b满足a(a2b)3，且 |a|1，b(1,1)，那么a与b的夹角为_ (第3题) (第4题) (2,6) 因为1sin()1， 【精要点评】对于求平面向量数量积的问题，常规思路一 是通过建立平面直角坐标系求解，思路二是利用平面向量内的 同一组基底来求解一般地，对于特殊的图形往往通过前者求 解 【思维导图】 总结归纳 解决此类问题的步骤如下： (1) 选择适当的两向量作为基底(基底一般选择长度已知的 向量、互相垂直的向量、夹角已知的向量)利用平面向量基本 定理把题中所有向量用基底表示用向量的数量积公式； (2) 建立平面直角坐标系(图形为矩形、直角三角形、等腰 三角形、圆等优先考虑建系)写出所有点的坐标代入数量积 的坐标公式求解 3 16
