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1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定 【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，掌握含有一个量词的全称命题 与特称命题的否定方法，会判断其否定的真假. 【知识链接】 1.全称命题题与特称命题题的一般形式：全称命题题：xM，p(x)，特 称命题题：x0M，p(x0). 2.命题题的否命题题与否定：命题题若p则则q的命题为题为 ：若p，则则 q；而 其否定为为：若p，则则 q. 主题题一：含有一个量词词的全称命题题的否定 【自主认认知】 1.下列各命题题是全称命题还题还 是特称命题题？你能写出它们们的否定吗吗？ (1)所有矩形都是平行四边边形. (2)每一个素数都是奇数. (3)xR，x2-2x
2、+10. 提示：它们都是全称命题.(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边 形”；命题(2)的否定是“存在一个素数不是奇数”；(3)的否定为： x0R，x02-2x0+11，x1”的否定是 ( ) A.x21，x1 B.x21，x1 C.x021，x01 D.x021，x01 【解析】选C.所给命题x21，x1是全称命题，它的否定是特称命 题，为 x02 1，x01. 2.“三角函数是周期函数”是_命题题(填“全称”或“特称”) ，其否定为为_. 【解析】根据全称命题的特点可判断其是全称命题，否定为“存在一 个三角函数不是周期函数”. 答案：全称 存在一个三角函数不是周期函数 主题题二：含有一
3、个量词词的特称命题题的否定 【自主认认知】 1.下列各命题题是全称命题还题还 是特称命题题？你能写出它们们的否定吗吗？ (1)有些实实数的绝对值绝对值 是正数. (2)某些平行四边边形是菱形. (3)x0R，x02 +10 B.不存在x0Z,使x02+2x0+m0 C.对对于任意xZ,都有x2+2x+m0 D.对对于任意xZ,都有x2+2x+m0 【解析】选D.把“存在”改为“任意”,把“”改为“”. 2.命题题：“有的四边边形是平行四边边形”的否定为为_. 【解析】其否定为：“所有的四边形都不是平行四边形”. 答案：所有的四边形都不是平行四边形 3.命题题：“x0M，p(x0)”的否定为为_
4、. 【解析】其否定为：“xM，p(x)”. 答案：xM，p(x) 【归纳总结】 1.全称命题的否定的两个关注点 (1)量词:把全称量词改为存在量词,一般变特殊. (2)结论:结合一些常见词语的否定,将结论进行否定.可见,全称命题 的否定是特称命题. 2.特称命题的否定的两个关注点 (1)量词:把存在量词改为全称量词,特殊变一般. (2)结论:结合一些常见词语的否定,将结论进行否定.可见,特称命题 的否定是全称命题. 3.全称命题与特称命题的关系 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无 一例外,而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两 者正好构成了相反意义的表
5、述,所以全称命题的否定是特称命题,特称 命题的否定是全称命题. 【拓展延伸】全称命题题与特称命题题的关系 全称命题题中的全称量词词表明给给定范围围内所有对对象都具有某一性质质， 无一例外，而特称命题题中的存在量词词却表明给给定范围围内的对对象有例 外，两者正好构成了相反意义义的表述，所以全称命题题的否定是特称 命题题，特称命题题的否定是全称命题题. 类类型一：全称命题题的否定及其真假判断 【典例1】(1)(2015浙江高考)命题题“nN*,f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是 ( ) A.nN*,f(n)N*且f(n)n B.nN*,f(n)N*或f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且
6、f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0 (2)写出下列命题题的否定，并判断其真假. p：xR，x2-x+ 0； q：所有的正方形都是矩形. 【解题指南】(1)找到命题的量词与结论,先把全称量词改写成存在量 词,再把结论写成否定的形式即可. (2)先找到量词与结论对所给的命题进行否定，再判断真假. 【解析】(1)选D.根据全称命题的否定是特称命题,否定结论,“且” 要换为“或”,“”换为“”,可知选D. (2)p： x0R，x02-x0+ 0”的否定是 ( ) A.存在x0R，“(x0-2)n0” B.存在x0R，“(x0-2)n0” C.对对任意xR，“(x-2)n0”
7、D.对对任意xR，“(x-2)n0”的否定是：对任意xR，“(x-2)n0”. 【补偿训练补偿训练 】写出下列命题题的否定，并判断其真假. (1)任意nZ，则则nQ. (2)等圆圆的面积积相等，周长长相等. (3)偶数，其平方是正数. 【解析】(1)存在n0Z，使n0 Q，这是假命题. (2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题. (3)存在偶数，其平方不是正数，这是真命题. 类类型二：特称命题题的否定及其真假的判断 【典例2】(1)(2015青岛岛高二检测检测 )命题题“x0R，使得 f(x0)=x0”的否定是 ( ) A.xR，都有f(x)=x B.不存在xR，使得f(x)x C
8、.xR，都有f(x)x D.x0R，使得f(x0)x0 (2)写出下列命题题的否定，并判断其真假. 至少有一个实实数x0，使得x02+2x0+5=0. 存在一个平行四边边形，它的对对角线线互相垂直. 存在一个三角形，它的内角和大于180. 存在偶函数为单调为单调 函数. 【解题指南】根据已知特称命题，首先把存在量词改写为全称量词， 然后再把结论写成否定的形式. 【解析】(1)选C.命题的否定为 xR，都有f(x)x. (2)命题的否定是：对任意xR，都有x2+2x+50，是真命题. 命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直 ，是假命题. 命题的否定是：对于任意的三角形，它的内
9、角和小于或等于180 ，是真命题. 命题的否定是：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 【延伸探究】 1.(变换变换 条件，改变问变问 法)若将本例(2)中的“至少有一个”用“至 少有两个”替换换，写出它的否命题题. 【解析】因为“至少有两个”的否定是“至多有一个”，所以它的否 命题是：“至多有一个实数x0，使得x02+2x0+50”. 2.(变换条件,改变问法)若将本例(2)命题中的“x02+2x0+5=0”改 为“x02+ax0+5=0”，且该命题的否定为假命题，求实数a的取值范围. 【解析】由题意得，原命题为真命题，所以有=a2-450，解得 【规规律总结总结 】特称命题题否定的方法及
10、关注点 (1)方法：与全称命题题的否定的写法类类似，要写出特称命题题的否定， 先确定它的存在量词词，再确定结论结论 ，然后把存在量词词改写为为全称量 词词，对结论对结论 作出否定就得到特称命题题的否定. (2)关注点：注意对对不同的存在量词词的否定的写法.例如，“存在” 的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个 ”等. 提醒：不要把命题题的否定和否命题题混为为一谈谈. 【拓展延伸】对对省略量词词的命题题的否定 对对于一个含有量词词的命题题，容易知道它是全称命题题或特称命题题，可 以直接写出其否定.而对对省略量词词的命题题在写命题题的否定时时，应应首先 根据命题题中所叙述的对对象的特征，挖掘其隐隐含的量词词，确定是全称 命题还题还 是特称命题题，先写成全称命题题或特称命题题的形式，再对对其进进 行否定. 【补偿训练补偿训练 】写出下列命题题的否定，并判断它们们的真假. (1)p：有些三角形的三条边边相等. (2)p：存在一个实实数x0，使得 【解析】(1)p：所有三角形的三条边不全相等. 显然p为假命题； (2)p：对于所有实数x，都满足3x0. 显然p为真命题.
