《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念3 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念3 新人教a版选修1-1（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 【自主预习预习 】 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变变化率 (1)定义义式: _. (2)实质实质 :_的增量与_增量之比. (3)作用:刻画函数值值在区间间x1,x2上变变化的快慢. 函数值值自变变量 2.函数的瞬时变时变 化率 定义义式 实质实质瞬时变时变 化率是当自变变量的改变变量趋趋近于0 时时,_趋趋近的值值 作用刻画函数在_处变处变 化的快慢 平均变变化率 某一点 3.导导数的概念 定义义式 记记法_或 实质实质函数y=f(x)在x=x0处处的导导数就是y=f(x)在 x=x0处处的_
2、f(x0) 瞬时变时变 化率 【即时时小测测】 1.若函数y=f(x)=2x2-1的图图象上一点(1,1)及其邻邻近一 点(1+x,1+y),则则 等于 ( ) A.4 B.4x C.4+2x D.4+2(x)2 【解析】选C.因为y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1- 2+1=4x+2x2,所以 =4+2x. 2.质质点运动规动规 律s=t2+3,则则在时间时间 3,3+t中,相应应 的平均速度等于 ( ) A.6+t B.6+t+ C.3+t D.9+t 【解析】选A. 故选A. 3.质质点运动规动规 律s=t2+3t(其中位移单单位:m,时间单时间单 位: s),那么该该物体在
3、2s时时的瞬时时速度是 ( ) A.5m/s B.6m/sC.7m/s D.8m/s 【解析】选C.因为s=s(2+t)-s(2) =(2+t)2+3(2+t)-(22+32) =(t)2+7t 所以 所以当t趋近于0时, 趋近于7.故该物体在2s时的 瞬时速度是7m/s. 4.如图图,函数y=f(x)在A,B两点间间的平均变变化率是 . 【解析】 答案:-1 5.函数y=f(x)= 在x=1处处的瞬时变时变 化率为为 . 【解析】因为y=f(1+x)-f(1)= 所以 所以当x趋近于0时, 趋近于-1. 故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1. 答案:-1 【知识识探究】 探究点1 函数
4、y=f(x)从x1到x2的平均变变化率 1.在平均变变化率的定义义中,自变变量x在x0处处的改变变量 x是否可以为为任意实实数,y呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量x可正、可负, 但不能等于0;而y可以为任意实数. 2.若两个函数在区间间x1,x2上的平均变变化率都是正数 ,平均变变化率的大小对对函数的变变化有什么影响? 提示:函数在区间x1,x2上的平均变化率刻画函数在区 间上变化的快慢,变化率越大变化越快. 【归纳总结归纳总结 】 1.对对于平均变变化率的理解 (1)y=f(x)在区间间x1,x2上的平均变变化率是曲线线 y=f(x)在区间间x1,x2上陡峭程度的“数量化”,曲线线
5、陡峭程度是平均变变化率的“视觉视觉 化”. (2)平均变变化率的绝对值绝对值 越大,曲线线y=f(x)在区间间 x1,x2上越“陡峭”,反之亦然. 2.关于平均变变化率的两个意义义 (1)平均变变化率的几何意义义就是函数y=f(x)图图象上两 点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)所在直线线的斜率. (2)平均变变化率的物理意义义是把位移s看成时间时间 t的函 数s=s(t),在时间时间 段t1,t2上的平均速度,即 特别别提醒:增量并不一定都是正值值,也可以负值负值 ,函数 值值的增量还还可以是0,比如常数函数,其函数值值的增量 就是0. 探究点2 函数的瞬时变时变 化率及导导数
6、1.匀速直线线运动动的瞬时时速度与平均速度相等吗吗? 提示:因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为0,所以匀 速直线运动的瞬时速度与平均速度相等. 2.依据导导数的概念,函数在某个点处处一定存在瞬时变时变 化率吗吗? 提示:在某一点处当自变量的改变量趋近于0,平均变化 率趋近于一个常数,函数存在瞬时变化率,否则不存在. 【归纳总结归纳总结 】 1.对对瞬时时速度的两点说说明 (1)瞬时时速度即位移函数相对对于时间时间 的瞬时变时变 化率. (2)当t在变变化中趋趋近于0时时,比值值 趋趋近于一个确 定的常数,此常数称为为t0时时刻的瞬时时速度. 2.函数f(x)在x0处处的导导数 (1)当x0时时
7、,比值值 的极限存在,则则f(x)在点x0处处 可导导;若 的极限不存在,则则f(x)在点x0处处不可导导或无 导导数. (2)在点x=x0处处的导导数的定义义可变变形为为f(x0)= 或f(x0)= 【拓展延伸】平均变变化率与瞬时变时变 化率的关系 (1)区别别:平均变变化率刻画函数值值在区间间x1,x2上变变化 的快慢,瞬时变时变 化率刻画函数值值在x0点处变处变 化的快慢. (2)联联系:当x趋趋于0时时,平均变变化率 趋趋于一个常 数,这这个常数即为为函数在x0处处的瞬时变时变 化率,它是一个 固定值值. 特别别提醒:“x无限趋趋近于0”的含义义: x趋趋于0的距离要多近有多近,即|x
8、-0|可以小于给给 定的任意小的正数,且始终终x0. 类类型一 求函数的平均变变化率 【典例】1.一物体的运动动方程是s=3+2t,则则在2,2.1 这这段时间时间 内的平均速度是 ( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 2.求函数y=f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变变化率,取 x都为为 ,哪一点附近的平均变变化率最大? 【解题题探究】1.典例1中,位移与时间时间 的改变变量分别别是 什么? 提示:位移的改变量是s=(3+22.1)-(3+22)=0.2, 时间的改变量是t=2.1-2=0.1. 2.典例2中,函数值值的改变变量y的表达式是什么? 提示:y的表达式是f(x
9、0+x)-f(x0). 【解析】1.选B.因为s=(3+22.1)-(3+22)=0.2, t=2.1-2=0.1,所以 2.在x=1附近的平均变化率为 在x=2附近的平均变化率为 在x=3附近的平均变化率为 当 由于k1k20,故t0=3s, 所以物体在3s时的瞬时速度为27m/s. 【方法技巧】 1.求运动动物体瞬时时速度的三个步骤骤 (1)求时间时间 改变变量t和位移改变变量s=s(t0+t)-s(t0). (2)求平均速度 (3)求瞬时时速度,当t无限趋趋近于0时时, 无限趋趋近于常 数v,即为为瞬时时速度. 2.求 (当x无限趋趋近于0时时)的极限的方法 (1)在极限表达式中,可把x
10、作为为一个数来参与运算. (2)求出 的表达式后,x无限趋趋近于0就是令x=0, 求出结结果即可. 【补偿训练补偿训练 】一物体做初速度为为0的自由落体运动动,运 动动方程为为s= gt2(g=10m/s2,位移单单位:m,时间单时间单 位 :s), 求: (1)物体在t0到t0+t这这段时间时间 内的平均速度. (2)物体在t=t0时时的瞬时时速度. 【解析】(1)物体在t0到t0+t这段时间内的位移增量 则平均速度 (2)物体在t=t0时的瞬时速度为 类类型三 求函数在某点处处的导导数 【典例】1.(2016临临沂高二检测检测 )函数y=f(x)=2x2+4x 在x=3处处的导导数为为 .
11、 2.求函数y=x+ 在x=1处处的导导数. 【解题题探究】1.典例1中当x=3时时y等于什么? 提示:当x=3时,y=2(3+x)2+4(3+x)-(232+4 3)=2(x)2+16x. 2.典例2中函数在x=1处处的函数改变变量是什么? 提示:函数改变量是y=(1+x)+ 【解析】1.因为y=2(3+x)2+4(3+x)- (232+43)=2(x)2+16x, =2x+16, 所以f(3)= (2x+16)=16. 答案:16 2.因为 所以 所以 故函数y=x+ 在x=1处的导数为0. 【方法技巧】求函数y=f(x)在点x0处处的导导数的三个步 骤骤 简简称:一差、二比、三极限. 【
12、拓展延伸】瞬时变时变 化率的几种变变形形式 【变变式训练训练 】求函数f(x)= 在x=1处处的导导数. 【解析】由导数的定义知,函数在x=1处的导数 【补偿训练补偿训练 】求函数y=x2+ax+b(a,b为为常数)在x处处的 导导数. 【解析】y=(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b) =2xx+(x)2+ax =(2x+a)x+(x)2, =2x+a+x, (2x+a+x)=2x+a, 所以f(x)=2x+a. 自我纠错纠错 导导数的定义义式在解题题中的应应用 【典例】已知f(x0)=a,则则 的值为值为 ( ) A.-2a B.2a C.a D. 【失误案例】 分析解题过题过 程,找出错误错误 之处处,并写出正确答案. 提示:不能正确地把已知条件转化为平均变化率的极限, 误认为 =a.正确解答过程如下:
