《（安徽专）2018届中考数学总复习专题4规律探索题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（安徽专）2018届中考数学总复习专题4规律探索题（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题四 规律探索题 命题预测方法指导 规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干 所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对 象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到 一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探 索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律 类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力的重要方式.考查的题 型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预 计这类题仍然是2018年中考的热点. 命题预测方法指导 解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面 、细致的观察、分析、比较,从
2、中发现其变化的规律,并猜想出一 般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般 有三种主要途径: (1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积 找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再 验证运用规律. 类型一类型二 类型一类型二 类型一 数式的变化规律 例1(2017安徽,19)【阅读理解】 我们知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2结
3、果等于多 少呢? 在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两 个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为 类型一类型二 【规律探究】 将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型, 观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1 个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均 为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为 : 3(12+22+32+n2)= . 因此12+22+32+n2= . 【解决问题】 类型一类型二 分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中 的数的和应等于同一位置圆
4、圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得 ,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ,从而得出答案;【 解决问题】运用以上结论,将原式变形为 类型一类型二 解:【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由 此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2) 【解决问题】 类型一类型二 例2(2014安徽,16)观察下列关于自然数的等式: 32-412=5; 52-422=9; 72-432=13; 根据上述规律解决下列问题: (1)完成第四个等式:92-4 2= ; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性. 分
5、析:通过观察变化的数字与序号的关系, 得出第四个等式:92-442=17; 通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明. 类型一类型二 解:(1)4 17 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下: 左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1, 右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边, 故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1. 类型一类型二 类型二 图形的变化规律 例3(2016安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空: 类型一类型二 (2)观察下图,根据(1)中结论,计算
6、图中黑球的个数,用含n的代数 式填空: 1+3+5+(2n-1)+( )+(2n-1)+5+3+1= . 分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为 an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an- 1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题; (2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到 2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论. 类型一类型二 解析:(1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an, 观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=
7、42, 故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n- 1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an- 1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1. 答案:(1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1 类型一类型二 例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格 中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观
8、察下列图形并完成 下表: 类型一类型二 猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小 正方形的个数f与m,n的关系式是 (不需要证明); (2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立. 分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过 的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式. (2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可. 类型一类型二 解:(1)如表: f=m+n-1 (2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图. 12345678 1.(2017重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组 成的,其中第
9、个图形中一共有3个菱形,第个图形中一共有7个 菱形,第个图形中一共有13个菱形,按此规律排列下去,第个 图形中菱形的个数为( C ) A.73B.81C.91 D.109 12345678 解析: 整个图形可以看作是由两部分组成:上半部分是菱形,下半部 分是由菱形组成的一条线段,各自的变化规律我们可以用一个表格 来呈现: 由此,不难推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1,当 n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,第个图形中菱形的个数为91. 12345678 2.(2017浙江温州)我们把1,1,2,3,5,8,13,21这组数称为斐波那契 数列.为了进一步研究,依次以这列
10、数为半径作90圆弧 P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接 P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,- 1),则该折线上点P9的坐标为( B ) A.(-6,24)B.(-6,25) C.(-5,24)D.(-5,25) 解析: 找准图形规律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25). 12345678 3.(2017湖北武汉)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64, 若最后三个数的和为768,则n为( B ) A.9B.10C.11 D.12 解
11、析: 根据数的规律,第n个数为(-2)n,故有最后三个数的和为(-2)n- 2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768, (-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故选B. 12345678 4.(2016湖北黄石)观察下列等式: 按上述规律,回答以下问题: 12345678 12345678 5.(2017湖南衡阳)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图的 方式放置,点A1,A2,A3,和点C1,C2,C3,分别在直线y=x+1和x轴上, 则点B2 018的纵坐标是22 017 . 解析: 由图知,点B1的坐标为(1,
12、1);点A2的坐标为(1,2);点B2的坐标为 (3,2);点A3的坐标为(3,4);点B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),寻 找规律知B2 018的纵坐标为22 017,故填22 017. 12345678 6.(2017山东淄博)设ABC的面积为1. 如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点 F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1= ; 如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交 于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2= ; 如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E
13、2,E3是其分点,连接 AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3= ; 按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,得到四边 形CDnFnEn,其面积Sn= . 12345678 12345678 律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式; (2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确 的. 12345678 8.(2017四川内江)观察下列等式: 按上述规律,回答下列问题: (1)请写出第六个等式:a6= = ; (2)用含n的代数式表示第n个等式:an= = ; (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6= (得出最简结果); (4)计算:a1+a2+an. 12345678
