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1、14.1 平稳随机信号的参数模型 经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中 的求均值和极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的 数据全为零，对自相关法是假定了在延迟窗以外的自 相关函数全为零。 思路： （1）假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列 u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。 （2）由已知的x(n)，或其自相关函数rx(m)来估 计H(z)的参数 （3）由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱 对图1所示系统， u(n)和 x(n)总有如下关系： 及 对上面两式两边分别取Z变换，并令b0=1，则有 其中， 为
2、了保证H(z)是一个稳定的且是最小相位系统 ， A(z)、B(z)的零点都应在单位圆内。 图1所示系统中，设u(n)是一个方差为2的白 噪声序列，可知输出序列x(n)的功率谱为： 对（1）式分三种情况讨论： Case1:b1，b2，bq全为零，则（1.1）式、（ 1.3）式及（1.5）式分别变为 此三式给出的模型即 为自回归（auto- regressive）模型， 简称AR模型，是一个 全极点的模型。 “自回归”含义：该 模型现在的输出是现 在的输入和过去p个输 出的加权和。 Case2:a1，a2，ap全为零，则（1.1）式、（ 1.3）式及（1.5）式分别变为 此三式给出的模型称为移动平
3、均（moving- average）模型，简称MA模型，它是一个全零 点的模型。 Case3:若a1，a2，ap；b1，b2，bq不全为零， 则（1.1）式给出的模型称为自回归移动平均 模型，简称ARMA模型。显然，ARMA模型是一个 既有极点，又有零点的模型。 功率谱大致可以分为三种，一种“平滑”，即 白噪声的谱；另一种是“线谱”，这是由一个 或多个纯正弦所组成的信号的功率谱，这两种 是极端的情况；介于二者之间的是既有峰点又 有谷点的谱，这种谱称为ARMA谱。显然，由于 ARMA模型是一个极零模型。易于反映功率谱中 的峰值和谷值。AR模型易于反映谱中的峰值， MA模型易于反映谱中的谷值。 1
4、4.2 AR模型的正则方程与参数计算 将（1.6）式两边同乘以x(n+m)，并求均值，得 于是 由于u(n)是方差为2的白噪声，由（1.2）式 ， 有 即 由Z变换的定义, ，在（1.7）式中 ，当 时，h(0)=1。结合（2.1）式及 （2.2）式，有 rx(m)= (2.3) 应用了自相关函数的偶对称性， 即rx(m)=rx(-m) 把上式写成矩阵形式 上述两式即为AR模型的正则方程，又称Yule- Walker方程。 14.3 AR模型参数估计的典型算法 1.自相关法 自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方 法。L-D递推算法是在满足前向预测均方误差 最小的前提下,先求得观测数据的自
5、相关函数, 然后利用YuleWalker 方程的递推性质求得模 型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶 次逐次加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的 预测系数am(k)=a1(1)和12，再计算m=2时的 a2(1),a2(2)和22,按此依次计算到阶次m=p时 的ap(1),ap(2) , , ap(p)及p2,当p2满足 精度要求时即可停止递推。 自相关法递推公式 2.Burg算法： 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测 误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向 序列误差前后都不加窗,使用LevinsonDurbin 递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相 关法不同,它是使序
6、列x(n)的前后向预测误差 功率之和: 最小，在上式中,当阶次由1至p时, epf(n)和epb（n ）有以下的递推关系: 可知pbfb仅为km的函数，令 ，得 再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模 型系数: Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了 先计算自相关函数从而提高计算速度;是较 为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优 于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时 会出现谱线分裂现象 3.改进协方差算法： 同Burg算法一样,改进协方差（修正协方差 ）算法进行功率谱估计时令前后向预测误 差功率之和最小,即对前后向预测误差都不 加窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩 阵,因此正则方程不能用Levinson递推算法 求解。Marple于1980年提出了实现协方差 方程求解的快速算法,大大提高了谱估计的 性能。 THANKSTHANKS
