数字信号处理第2章ppt讲述

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1、第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引言 2.2 维纳滤波器的离散形式时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.1 引 言 在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如 何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理 中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不 受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里， 我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声 v(n)之和（如图2.1.1所示）, 即 x(n)=s(n)+v(n

2、) （2.1.1） 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望 信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)（如图2.1.2所示）， 系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系 统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表 示为yd(n)=s(n)， y(n) = 。因此对信号x(n)进行处理，可以 看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器 ，也就是说, 信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那 么， 采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到 的估计， 在通信中称为波形估计

3、; 在自动控制中，称为动态估 计。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.1 观测信号的组成 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.1.2 信号处理的一般模型 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，要估计当前及以后时刻 的信号值s(n+N), N0，这样的估计问题称为预测问题；若已知 x(n-1), x(n-2), , x(n-m) ，要估计当前的信号值s(n)，称为过滤 或滤波； 根据过去的观测值x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，估计过去 的信号值s(n-N), N1，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡 尔曼(K

4、alman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的 过滤或预测问题, 并以估计的结果与信号真值之间的误差的均 方值最小作为最佳准则。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维 纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理 谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 维 纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关 函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的 方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概 念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法

5、所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2 维纳滤波器的离散形式时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n), n=0, 1, 2, （2.2.2） 设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E|e(n)|2分别为 e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n) （2.2.） （2.2.） 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小，须满足 （2.2.5） 这里，hj表示h(j); 同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误 差的

6、均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求 导问题， 它等价于 j=0, 1, 2, （2.2.6） 记 j=0, 1, 2, （2.2.） 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为 （2.2.8） 将（2.2.8）式展开 （2.2.9） 又根据（2.2.1）(2.2.3)式 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 将（2.2.10）（2.2.13）式代入（2.2.9）式， 得 （2.2.14) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 因此 Ex*(n-j)e(n)=0 j=0, 1, 2, （2.2.15） 上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一 进入估计的输入信

7、号正交，这就是通常所说的正交性原理。它 的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统 是否工作于最佳状态。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 下面计算输出信号与误差信号的互相关函数 (2.2.16) 假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号 d(n)的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到 (2.2.17) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时， 估计值加上估 计偏差等于期望信号， 即 注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中

8、各矢量的几何表 示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角 度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值, 应用正交性原 理,则, 因此在滤波器处于最佳状态时， 估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.2 维纳霍夫方程 将（2.2.15）式展开， 可以得到 将输入信号分配进去， 得到 k=0, 1, 2, 对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: ryx(-k)=r*xy(k), 得到 k=0, 1, 2, (2.2.20) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (2.2.20)式称为维纳-霍夫（WienerHopf）方程。当h(n)是 一个长度为M的因果

9、序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器) 时， 维纳-霍夫方程表述为 k=0, 1, 2, (2.2.21) 把k的取值代入(2.2.21)式， 得到 当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+hMrxx(M-1)=rxd(0) 当k=1时， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+ hMrxx(M-2)= rxd(+1) 当k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+hMrxx(0)= rxd(M-1) (2.2.22) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 定义 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即 (2.2.23) 对上式求逆，得

10、到 (2.2.24) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤 波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳 滤波器， 当选择的滤波器的长度M较大时， 计算工作量很大 ， 并且需要计算Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此 外， 在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果 想通过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进 行计算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的 方法。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.3 估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器

11、为FIR型，长度 等于M，将(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到 (2.2.25) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式可以进一步化简得到 可以看出， 均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次 函数关系。由于单位脉冲响应h (n)为M维向量，因此均方误差是 一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作 于最佳状态时， 均方误差取得最小值。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 将（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方误差 (2.2.27) 例2.2.1 设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差22=0.1。 期望信号x1(n)的信

12、号模型如图2.2.2（a）所示，其中白噪声v1(n) 的方差21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信号模型如图2.2.2（b）所 示，b1=0.9458。假定v1(n)与v2(n)、x1(n)与y(n)不相关，并都是实 信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波 器是一长度为2的FIR滤波器。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.2 输入信号与观测数据的模型 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 解 这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题， 其 关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的 互相关函数。 图 2.2.3 维纳滤波器的框图 第二章 维纳滤波和

13、卡尔曼滤波 根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。 用H1(z)和H2(z)分别表示x1(n)和x(n)的信号模型，那么滤波器的 输入信号x(n)可以看作是v1(n)通过H1(z)和H(z)级联后的输出， H1(z)和H(z)级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号y(n)就等 于x(n)和v2(n)之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵Ryy和 输出信号与期望信号的互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关 函数矩阵由相关函数值组成，已知x(n)与v2(n)不相关，那么 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (1) 求出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时 间序列模型所

14、对应的差分方程为 x1(n)=v1(n)-b0 x1(n-1) 这里，b0=0.8458, 由于x1(n)的均值为零，其方差与自相关函数在 零点的值相等。 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (2) 计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自 相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知 时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模 型H(z)可以通过计算得到。 这是一个二阶系统，所对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n) 式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值为零，因此， x(n)的均值为0。给方程两边同乘以

15、x*(n-m)，并取数学期望，得 到 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx (m-2)=0 m0 (1) rxx(0)+ a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0 (2) 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 对方程（1）取m=1, 2，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3) rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0 (4) 方程（2）、（3）、（4）联立求解，得 至此， 输入信号的自相关矩阵Rxx可以写出： 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 v2(n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对 角形， 且 ， 因此，输出信号的自相关Ryy为 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (3) 计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。 由于两 个信号都是实信号，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m) =E(x(n)+v2(n)x1(n-m)=Ex(n)x1(n-m) m=0, 1