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1、岩土数值分析 绪 论 河海大学岩土工程研究所 卢廷浩 第一节 岩土工程问题的基本特点 工程类型的多样性 材料性质的复杂性 荷载条件的复杂性 初始条件与边界条件 的复杂性 相互作用问题 土（岩）与结构的相互作用（例） 加筋挡墙 墙（挡土墙、防渗墙）、混凝土面板 坝的面板与土（岩）的相互作用 防渗墙与覆盖层 混凝土面板坝 挡土墙 第二节 岩土工程数值分析发展的必然性 为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求 与选择大致有三个梯次，退而择之。 建立严格的控制物理方程 严格精确解 基于假定建立较为精确的控制物理方程近 似理论解 必要简化假设的基础上得到的控制物理方程 （微分方程或微分方程组）寻求数值解
2、第三节 岩土工程数值分析方法类型简介 数值分析 数值积分特征线法 遵守微分方程的解 加权残值法变分法和Raleigh Ritz 法 有限分析法有限单元法边界单元法离散单元法非连续变形单元 法 有限差分法 Galerkin 法连续变 形单元法 最小二乘法连 续变形单元法 配置法连 续变形单 元法 子域法连 续变形单 元法 流形元法 等 本课程介绍几种常用数值方法 有限单元法（Finite Element Method， FEM） ，包括土体应力变形、固结有限元及渗流有限 元； 离散单元法(Discrete/Distinct Element Method ，DEM)； 非连续变形分析法(DDA，D
3、iscontinuous Deformation Analysis)； 岩土参数反分析法（Back Analysis Method ,BAM）； 滑移线理论与特征线方法（Characteristics Line Method ，CLM）。 人们的认识在不断发展深化，同时伴随其 它学科的发展，例如计算方法的多样化与计 算技术的发展，能够求解的岩土工程问题的 范围和难度在不断扩大。 从求解稳定性问题到求解变形和稳定问题， 从土体到岩体， 从连续介质到不连续介质， 从简单到复杂， 从单一问题到综合和耦合问题等。 数值分析发展前景广阔，是学者和工程 师们的新舞台。 第四节 学习中应注意的问题 （1）掌
4、握每种方法的数学力学 原理，基本假定和适用范围； （2）弄清每种方法对岩土体材 料模型及其参数的要求； 学习中应注意的问题 （3）弄清每种方法对岩土体材料 与结构的相互作用模型及其参数 的要求，包括岩石块体之间的关 联和相互作用； （4）分析岩土体是否存在渗流和 与水的相互作用或其它耦合问题 。 应用时注意几个主要环节 （1）研究分析对象，明确计算目的，选 择数值分析方法，确定建模方案； （2）确定运用的模型及其参数； （3）确定边界条件与初始条件； 应用时注意几个主要环节 （4）模拟荷载及荷载的动态变化； （5）确定计算的收敛评判依据； （6）考察各环节简化的合理性，考题，否 则应调整建模及
5、有关计算模型与参数； （7）确定后处理方法及成果的整理与分析 方案。 （8）应用商业软件之前，要先弄清原理 教材：卢廷浩等，岩土数值分析， 中国水利水电出版 社，2008.3 参考文献 1 刘汉东、张勇、贾金禄编著，岩土工程数值计算方法（M），黄河 水利出版社，1995.12。 2 (美)C.S.德赛、J.T.克里斯琴主编，卢世深、潘善德、王钟琦等译 ，岩土工程数值方法（M），中国建筑工业出版社，1981.8。 3 中国力学学会计算力学委员会主办，第一届全国计算岩土力学研讨 会论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。 4 龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M）， 200
6、0.10。 5 廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M）， 2006.2。 更多 滑移线理论与特征线法 河海大学岩土工程研究所 卢廷浩 概 述 对于土体，滑移线理论、极限分析理论 与力的极限平衡理论同属极限状态理论的 范畴，都是求土体达到极限状态时解答的 理论方法。这些理论方法都是假定分析对 象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑 材料到达极限状态的过程，即不考虑材料 的具体应力应变关系，从而求得土体达到 极限状态时的解答，但他们各自求解问题 的视角和方法不同。 关于力的极限平衡理论 力的极限平衡理论假定土体为理想刚 体，依据于经典静力学中刚体平衡理论 推求极限状态解答，简称为极限
7、平衡法 。该方法最为人们所熟悉，其突出优点 是简单，应用广泛。例如，经典土压力 计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全 系数计算，地基极限承载力计算等。 关于极限分析理论 极限分析理论假定土体为弹性理想塑性 体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流 动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷 载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无 限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对 应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应 用虚功率方程推导弹性理想塑性体或刚塑性 体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限 解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解 极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。 关于滑移线理论 土
8、力学中的滑移线理论是从经典塑性 力学的基础上发展起来的。假定土体为理 想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交 流动规则的标准库仑材料。 滑移线理论是基于平面应变状态的土 体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内 的应力和应变速度的偏微分方程是双曲线 这一事实，应用特征线理论求解平面应变 问题极限解的一种方法，称为滑移线法。 滑移线概念 基本假定 基本方程 平衡方程为 土体屈服条件为 滑移线 在平面应变问题中，都有两 个正交主应力，将各点主应 力方向连续地连接起来就是 主应力迹线。土体处于屈服 状态时，每一点都存在一对 剪破面，即面和面，将平面 上各点剪破面连续地连接起 来就可以得到两族曲线，称 为
9、滑移线（或滑动线）。滑 移线上一点的切线就是该点 的滑动面方向。 滑移线概念 应力分量表达（一点应力状态） 当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面， 剪破面与大主应力的夹角为 。 设大主应力 与 轴的夹角为 ，则三个应力分量 可分别表达 为 式中 称为平均法向引用应力 应力分量表达（放大图） 滑移线与滑移线方程 线和 线的微分方程为 应力平衡方程的特征线方程 特征线方程 推导 特征线方程组 极限平衡方程改写 这是一个以x，z ， , 为变量的空间曲面方程 是一阶拟线形偏微分方程组。直接求解极其困难。 数学上的一阶拟线形偏微分方程组一般形式为 该式是关于 为变量， 由系数
10、 构成的代数方程组 ，其中系数 是 的函数。 该方程组的系数行列式为 展开行列式，令 ，有 其中 在某区域内，如果 则方程有两个实根， 表示一阶拟线形偏微分方程组为双曲线型的，在 该区域内有两族实的特征线。 如果 ，则方程有一个实根，表 示一阶拟线形偏微分方程组为抛物线型的 ，只有一族特征线； 如果则 方程没有实根，表示 一阶拟线形偏微分方程组为椭圆型的，不 存在实的特征线。 特征线方程推导 上式是关于 、 的一阶拟线形偏微分 方程组，直接求解这个偏微分方程组极其 困难。由于两族滑移线自己的夹角是 为此可以将方程改写：以 乘第 一个方程；以 乘第二个方程， 然后相加，得 特征线方程推导空间曲面
11、方程 以 为变量空间曲面方程 ， 特征线方程推导 在xoz平面内一定存在某曲线 ，该 曲线上 和 正好满足方程；沿该线 、 可以表达为 求全微分 改写上式得 将其代入式整理后得到 式中 当右端项分子分母同时为0，左端的导 数值不定， 称为特征线。特 征线的方程组： 方程组是曲面方程，仍难以求 得解析解，只能沿着曲面方程的 特征线才能求得解答，因此称为 特征线法。 比较滑移线的定义与此处的特 征线方程，可知此处数学上的特 征线就是物理概念上的滑移线。 应力间断线 应力间断线（l线）推 导 应力间断线 应力间断线推导 切向正应力间断 滑移线的基本性质 应用特征线法求解极限荷载时必须首先根据滑 移线
12、性质构造应力场。根据滑移线的定义，可 推得具有如下基本特性。 滑移线上的剪应力等于岩土体的抗剪强度（极 限状态），滑移线网与屈服准则有关。 两族滑移线的夹角与内摩擦角 值有关，粘聚力 c不影响滑移线的两族滑移线的夹角和形状，而 土体自重 影响滑移线网的形状但不影响两族 滑移线的夹角。 滑移线的基本性质 沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条 滑移线上的 变化与 的变化呈比例， 的变 化（滑移线的曲率变化）愈大相应的 变化也 愈大；如若某段滑移线为直线，则该直线段滑 移线上的 ， 值和应力分量均为常量。 两条 族被两条 族滑移线所切割的两滑移线 段转角相等，同理两条 族被两条 族滑移线 所切割
13、的两滑移线段转角也相等（Henky第一定 律）。 若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族滑 移线的曲率半径的变化（Henky第二定律）。 特征线方程组的差分解法 差分方程组 提高差分解精度 依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行 一次差分计算后，再在前一次差分计算结果的基 础上进行逐次迭代计算 ， 以 进行下一次迭代 差分计算看似繁琐，但应用计算机采取编程计算 就极简单而且快捷 分别代替 边界已知值换算 由 换算成 ， 土体单元极限平衡状态 土体单元极限平衡状态 （推导） 图2.9 边界上应力状态摩尔圆 土体单元极限平衡状态 （推导） 由图可见 （引用应力 ） （引用应力对法线的倾角 ）
14、（平均法向引用应力） （ 方向对边 界倾角的2倍 ） 边界已知值换算推导 点 和点 对应着两种应力状态，即被动状态和主动状态。 在 上式分别合成一个式子，有 （ ） 处 ， 或 按正弦定律 在 处， 或 按正弦定律 ） 图2.10 主动与被动状态判别 因为线 段长 主动与被动状态判别 若边界顺着边界荷载 极限平衡状态，则单元的侧向应力必小于法向应力 即，有，从而 ，这种情况恰与莫尔圆上 的 点相一致，就相当于取式（2-24） 中的K1； 的运动方向下压使土体单元处于 按该式计算的值最小，称主动状态或最小应力状态。 主动与被动状态判别 若边界逆着边界荷载 极限平衡状态，则单元的侧向应力必大于法向应力 即，有，从而 ，这种情况恰与莫尔圆上 的 点相一致，就相当于取式（2-24） 中的K+1； 的运动方向下压使土体单元处于 按该式计算的值最大，称被动状态或最大应力状态。 边界已知值换算 由 换算成 或 当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便 于设计使用。换算可采用如下两种方法之一进行。 方法1：利用式，反求 ， 方法2：先由莫尔圆上直接求出 然后求出 再求 求出 边值问题 第一种边值问题（柯西问题） 第二种边值问题（古尔斯问题，黎曼问题） 边值问题 第三种边值问题（混合问题） 第四种边值问题 地基极限承载力 边界条
