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1、一、问题的提出 平面上的二次曲线有哪些？平面上的二次曲线有哪些？ 还有没有别的？还有没有别的？ 如何从所给的二次方程判别它代表什么二次曲线？如何从所给的二次方程判别它代表什么二次曲线？ 它的形状和位置如何？它的形状和位置如何？ 二次曲线有哪些几何性质？二次曲线有哪些几何性质？ 第五章 二次曲线的一般理论 三、本章内容概要 二次曲线的几何性质二次曲线的几何性质 二次曲线方程的化简二次曲线方程的化简 二次曲线的分类二次曲线的分类 二、二次曲线的概念 由二元二次方程由二元二次方程 所表示的曲线叫做二次曲线所表示的曲线叫做二次曲线. . 注：注：1. 1. 不全为零；不全为零； 2.2.方程中系数的规
2、律方程中系数的规律: :下标下标“1”1”代表代表“x x”， 下标下标“2”2”代表代表“y y”，下标，下标“3”3”代表代表“1”1”，交叉，交叉 项前有项前有2.2. 四、平面上的虚元素 1.1.虚点虚点 2.2.虚向量虚向量 3.3.虚直线虚直线 五、二次曲线的有关记号 例例 写出二次曲线的矩阵写出二次曲线的矩阵 A A 的的1111种符号种符号 1 二次曲线与直线的相关位置 讨论二次曲线讨论二次曲线 与直线与直线 的交点，可以采用把直线方程（的交点，可以采用把直线方程（2 2）代入曲线方）代入曲线方 程（程（1 1）然后讨论关于）然后讨论关于t t的方程的方程. . （1） （2）
3、 5.1 二次曲线与直线的相关位置 （3 3） （4 4） 对（对（3 3）或（）或（4 4）可分以下几种情况来讨论：）可分以下几种情况来讨论： 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 一、二次曲线的渐近方向 定义5.2.1 满足条件(X, Y)=0的方向X: Y 叫做二 次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的；有一个实渐近主向的二次曲线叫做抛物型的； 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。 命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地 = （ii）当 0时，曲线有二共轭虚渐近方向； （iii）当 （i） 当 1)椭圆型：I20 2)抛
4、物型：I20 3)双曲型：I20 二、二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦 的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做 二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其 充要条件是： 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件 是曲线方程里不含x与y的一次项. 二次曲线(1)的中心坐标由下方程组决定： 如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心 坐标 如果I20，分两种情况： 定义5.2.4 有惟一中点的二次曲线叫中心二次曲线； 没有中心的二次曲线叫无心二次曲线； 有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线。 无心二次
5、曲线与线心二次曲线统称为非中心二次 曲线。 1)中心曲线： 2)非中心曲线： a)无心二次曲线： b)线心二次曲线： 从二次曲线的渐进方向与中心的分类中(见P.192)， 容易看出： 椭圆型曲线与双曲型曲线都是中心二次曲线； 抛物型曲线是非中心二次曲线。 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐进方 向为方向的直线称为二次曲线的渐进线。 椭圆型曲线无实渐进线； 双曲型曲线有两条实渐进线； 抛物型曲线：无心曲线无渐进线，线心曲线有一条 渐进线，就是它的中心曲线。 定理5.2.2 二次曲线的渐进线与这二次曲线或者 没有交点，或者整条直线在这二次曲线上，成为 二次曲线的组成部分。 5.3 二次曲
6、线的切线 定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这 个重合的交点叫做切点。如果直线全部在二次曲线 上，我们也称它为二次曲线的切线，这时直线上的 每个点都可以看作切点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0, y0)=0且 F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简 称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正 常点. 定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0， (x0, y0)是
7、它的切点；如果(x0, y0)是二次曲线(1)的奇异点 ，那么通过(x0, y0)的切线不确定，或者说过点(x0, y0)的 每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0, y0)的切线方程是： 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2, 1)的切 线方程 例2 求二次曲线x2-xy+y2-1=0在点(0, 2)的切线方程 . 5.4 二次曲线的直径 一、二次曲线的直径 对于非渐进方向，则有直线与二次曲线总交于两点两不 同的实点；两重合实点；一对共轭虚点。这两点确定一条铉 。 本节研究：二次曲线上一族平行铉的中点轨
8、迹。 定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的 直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦； 而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径. 推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行 弦的直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心 ，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向， 线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直 线。 例1 求椭圆或双曲线 的直径 例2 求抛物线的直径 二、共轭方向与共轭直径 定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直
9、径叫做一 对共轭的直径。 5.5 二次曲线的主直径和主方向 定义5.5.1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次 曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都 叫做二次曲线的主方向 1.二次曲线的主直径与主方向 主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次 曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点 2.主方向与主直径的求法 或 ， 即 ， 因此对于中心二次曲线来说，只要由或解出 ， 再代入就能得到它的主方向 从而 当（1）为非中心二次曲线，那么它的任何直径的方向总是 它的唯一的渐近方向 所以非中心二次曲线（1）的主方向为： 渐近主方向： 非渐近主方向： 垂直于它的方向显然为： 如果把或推
10、广到非中心二次曲线，即 ， ， ， 因此，一个方向 是成立，这里的 是方程或的根 成为二次曲线（1）的主方向的条件是 把它代入或 所得的主方向，正是非中心二次曲线 的渐近主方向与非渐近主方向 3. 二次曲线的特征根 定义5.5.2 方程或叫做（1）的特征方程，特征方 程的根叫做二次曲线的特征根 把它代入或，就得到相应的主方向. 如果主方向为非渐近方向，那么由（5.4-1） 就能得到共轭于它的直径 从二次曲线（1）的特征方程求出特征根 ， 定理5.5.3 二次曲线（1）的特征根 定理5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零 其中 ， 确定的主方向， 当时，为二次曲线的非渐近主方向； 时，为二次曲线
11、的渐近主方向 当 定理5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径， 非中心二次曲线只有一条主直径 定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数 例1 求 的主方向与主直径 例2 求曲线的主方向与主直径 5.6 二次曲线方程的化简与分类 1. 平面直角坐标变换 （其中为坐标轴的旋转角） 移轴公式： 转轴公式： 或 一般坐标变换公式： 逆变换公式： 或 1）一般坐标变换 （3） （4） 同理 （） 从而 因为是点到轴的距离，也就是 到 的距离，因此 （） 与 ， 为轴， 为求坐标变换公式取轴， 例1 已知两垂直的直线 （1） 1. 移轴： 移轴变换规律： 2一次项系数变为 与； 当 为二次曲线（1）的中
12、心时，有 . 故当二次曲线(1)有中心时，作移轴，使原点 与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中的一次项消失. 1二次项系数不变； 2二次曲线方程的化简与分类 设二次曲线的方程为 3常数项变为 . 例2 化简二次曲线方程 并画出它的图形 例3 化简二次曲线方程 并画出它的图形 意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的 位置，这是因为如果二次曲线的特征根 确定的主方向为 利用转轴来消去二次曲线方程的 项，有一个几何 ，那么 ， 因此，通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法， 实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴） 重合的位置 如果是中心曲线，坐标原点与曲线
13、的中心重合； 如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合； 如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中 心重合因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线（1 ）的主直径，然后以它作新坐标轴，作坐标变换即可 定理1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可 以化成下列三个简化方程中的一个： 定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方 程总可以写成下面九种标准方程的一种形式： 5.7 应用不变量化简二次曲线的方程 1. 不变量与半不变量 由直角坐标变换 （1） 设二次曲线的方程为 不变量 半不变量 则（1）式左端变为 在移轴下，得 不变，一般要改变. 在转轴下，不变，也不改变. 定理 如果给出了二次曲线（1），那么用它的不变量来 判断已知曲线为何种曲线的条件是： 点（或称一对交于实点的共轭虚直线）：
