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1、12020年高考数学立体几何突破性讲练06空间向量及其运算一、考点传真：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.二、知识点梳理：1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表
2、示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则A
3、OB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在
4、直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0【强调几点】1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba
5、，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.三、例题：例1.（2017全国卷II）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A B C D例2.（2017江苏卷）如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值例3.（2016四川
6、卷）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值例4（2013天津卷）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长例5.（2013湖南卷）如图，在直棱柱
7、ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值四、巩固练习：1.已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对2.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1，1，1) B.(1，1，1)C. D.3.平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A.2 B.4 C.4 D.24.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，
8、6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2C.a2 D.a26.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为()A. B.C. D.7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内8.
9、已知向量a(2，1,2)，b(1,3，3)，c(13,6，)，若向量a，b，c共面，则_.A2 B.3 C.4 D.9.已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D15010.已知A(1，1,3)，B(0,2,0)，C(1,0,1)，若点D在z轴上，且，则|等于()A. B. C. D.11.有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.412.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平
10、面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1) B.C. D.13.已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.14.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示).15.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的序号是_.16.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_.17.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.18.如图，正ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.2
