计算力学第1课(2015).

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1、哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院航天与建筑工程学院 王滨生王滨生 E-mail: E-mail: 15804988441580498844，heu.tulixueheu.tulixue 计算力学计算力学 Computational MechanicsComputational Mechanics (1)(1) 2 heu.tulixue 本次课的主要问题：本次课的主要问题： 计算力学的任务 偏微分方程(组)的发展 基本内容基本内容 3 heu.tulixue 引子引子 力学现象的数学模拟，常常归结为求解常微分方程、偏微力学现象的数学模拟，常常归结为求解常微分方程、偏微 分方程、积

2、分方程、或代数方程。即从工程实际中提出的力学分方程、积分方程、或代数方程。即从工程实际中提出的力学 问题，一般可归结为数学的定解问题，用问题，一般可归结为数学的定解问题，用( (偏偏) )微分方程微分方程( (组组) )表示表示 。 力学现象力学现象数学模拟数学模拟 4 heu.tulixue 引子引子 力学分析过程可分为以下四个步骤：力学分析过程可分为以下四个步骤： 对结构的真实行为进行分解、简化，得到问题的分析模式对结构的真实行为进行分解、简化，得到问题的分析模式 。 制定一组在结构受到外力时会产生几何变形和空间运动的制定一组在结构受到外力时会产生几何变形和空间运动的 准则，依据这组准则，

3、推导一组在数学理论上完整而有解准则，依据这组准则，推导一组在数学理论上完整而有解 的方程式，即问题的分析公式。的方程式，即问题的分析公式。 选择适宜的步骤求出这一组分析公式的解。选择适宜的步骤求出这一组分析公式的解。 根据实验和实测的现象和数据，与预测的结果作分析模式根据实验和实测的现象和数据，与预测的结果作分析模式 和参数值的验证。和参数值的验证。 5 heu.tulixue 引子引子 一般结构设计的基础是工程应力和材料力学，工程材料的一般结构设计的基础是工程应力和材料力学，工程材料的 规范试验也是以工程应力和微应变来定义材料的性质。换言之规范试验也是以工程应力和微应变来定义材料的性质。换言

4、之 ，结构的理论虽然可以从广义的力学概念来探讨，但是用在实，结构的理论虽然可以从广义的力学概念来探讨，但是用在实 际的工程分析时，所得到的结果就必须要用材料力学的参数来际的工程分析时，所得到的结果就必须要用材料力学的参数来 表示，这样在工程上才有实质的意义。表示，这样在工程上才有实质的意义。 丁承先丁承先向量式结构力学向量式结构力学 6 heu.tulixue 常微分方程常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起 来，当时应用常微分方程，解决几何与力学中的新问题。来，当时应用常微分方程，解决几何与力学中的新问题。 海王星的发

5、现就是在对微分方程分析的基础上作出的海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 7 heu.tulixue 偏微分方程偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方 程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支数学数学 物理方程的建立。物理方程的建立。 J. J.达朗贝尔：达朗贝尔：DAlembertDAlembert，1717-17831717-1783，法国的物理学家、，法国的物理学家、 数学家、天文学家。数学家、天

6、文学家。 D. D.伯努利：伯努利：Daniel BernoulliDaniel Bernoulli，1700-17821700-1782，瑞士物理学家、，瑞士物理学家、 数学家、医学家。数学家、医学家。 L. L.欧拉：欧拉：EulerEuler，1707-17831707-1783，瑞士数学家、自然科学家。，瑞士数学家、自然科学家。 J. J.拉格朗日：拉格朗日：LagrangeLagrange，1736-18131736-1813，法国著名数学家、物，法国著名数学家、物 理学家。理学家。 P. P.拉普拉斯：拉普拉斯：LaplaceLaplace，1749-18271749-1827，法

7、国分析学家、概率论，法国分析学家、概率论 学家和物理学家。学家和物理学家。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 8 heu.tulixue S. S.泊松：泊松：PoissonPoisson，1781-18401781-1840，法国数学家、几何学家和物，法国数学家、几何学家和物 理学家。理学家。 J. J.傅里叶：傅里叶：FourierFourier，1768-18301768-1830，法国著名数学家、物理学，法国著名数学家、物理学 家。家。 他们所提出的思想与方法，适用于众多类型的微分方程，他们所提出的思想与方法，适用于众多类型的微分方程， 成为十九世纪末偏微分方程

8、一般理论发展的基础。成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 9 heu.tulixue 偏微分方程的建立与解析解偏微分方程的建立与解析解 偏微分方程的理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、偏微分方程的理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、 基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问 题的范围与方向以影响。题的范围与方向以影响。 偏微分方程理论的研究可以追溯到弦振动的研究。弦振动偏微分方程理论的研究可以追溯到弦振动的研究。弦振动 是达朗贝尔于是达朗贝尔于1747174

9、7年建立的，它还得到了表达这个方程通解的年建立的，它还得到了表达这个方程通解的 公式。欧拉得出弦振动方程柯西公式。欧拉得出弦振动方程柯西(Cauchy(Cauchy，1789185717891857，法国数，法国数 学家、物理学家学家、物理学家) )问题解的公式：这个公式今天称为达朗贝尔公问题解的公式：这个公式今天称为达朗贝尔公 式。式。 D. D.伯努利断言：弦振动方程的任何解均可表示为三角级数伯努利断言：弦振动方程的任何解均可表示为三角级数 。欧拉同达朗贝尔、。欧拉同达朗贝尔、D.D.伯努利关于弦振动方程解的性质的研究伯努利关于弦振动方程解的性质的研究 ，对数学物理、分析学，特别是三角级数

10、理论的发展具有重要，对数学物理、分析学，特别是三角级数理论的发展具有重要 意义。意义。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 10 heu.tulixue 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶傅里叶 拉开的，傅里叶在拉开的，傅里叶在18221822年进一步研究了用三角级数表示函数的年进一步研究了用三角级数表示函数的 问题。随后在狄利克雷问题。随后在狄利克雷( ( L.DirichletL.Dirichlet，1805185918051859，德国数学家，德国数学家) ) 的工作中最先指出了把函数展开成三角级数的充分条

11、件。最先的工作中最先指出了把函数展开成三角级数的充分条件。最先 出现在数学物理问题中的把函数表示成三角级数的问题在很大出现在数学物理问题中的把函数表示成三角级数的问题在很大 程度上促成了现代的集论与函数论的建立。他于程度上促成了现代的集论与函数论的建立。他于18221822年发表的年发表的 热的解析理论热的解析理论是数学史上的经典文献之一。是数学史上的经典文献之一。 傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度 随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限 制制( (如均匀、

12、各向同性如均匀、各向同性) )后，他根据物理原理推导出了三维空间的后，他根据物理原理推导出了三维空间的 热传导方程热传导方程 式中，式中，k k是一个参数。是一个参数。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 11 heu.tulixue 傅里叶当时解决的是：设所考虑的物体为两端保持在温度傅里叶当时解决的是：设所考虑的物体为两端保持在温度0 0 度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传 导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解 偏微分方程偏微

13、分方程 式中，后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个式中，后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个 方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 12 heu.tulixue 为了满足初始条件，必须有为了满足初始条件，必须有 这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示 成三角级数的问题。成三角级数的问题。 傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成 这样，每个这

14、样，每个b b n n 可由上式乘以可由上式乘以sinsinnxnx( (n n=1,2,)=1,2,)，再从，再从0 0到到 积分而积分而 得到。他还指出这也可以应用于表达式得到。他还指出这也可以应用于表达式 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 13 heu.tulixue 接着，他考虑了任何函数接着，他考虑了任何函数f f( (x x) )在区间在区间( (- - , , ) )的表达式，利用对称的表达式，利用对称 区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这 一事实，傅里叶可以将区间一事实，傅里叶可以将

15、区间(- (- , , ) )上的任何函数上的任何函数f f( (x x) )表示为表示为 式中式中 这就是我们通常所称的这就是我们通常所称的傅里叶级数傅里叶级数。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 14 heu.tulixue 为了处理无穷区域上的热传导问题，傅里叶同时还导出了为了处理无穷区域上的热传导问题，傅里叶同时还导出了 现在所谓的现在所谓的“ “傅里叶积分傅里叶积分” ”： 需要指出的是，傅里叶从没有对需要指出的是，傅里叶从没有对“ “任意任意” ”函数可以展成傅里函数可以展成傅里 叶级数这一断言给出过任何完全的证明，它也没有说出一个函叶级数这一断言给出过任何完全的证明，它也没有说出一个函 数可以展开为三角级数必须满足的条件。数可以展开为三角级数必须满足的条件。 计算力学与偏微分方程计算力学与偏微分方程( (组组) ) 15 heu.tulixue 傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的