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1、第6章连续时间系统的s域分析 齐开悦 博士 Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform 一. 系统函数的概念： 以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉 氏变换分析方法，即 其中 是 的拉氏变换，称为系统函数 或转移函数。 6.1 引言-用拉氏变换分析与表征LTI系统 第第 3 3 页页第第 3 3 页页 如果 的ROC包括 轴，则 和 的 ROC必定包括 轴，以 代入，即有 这就是LTI系统的傅里叶分析。 即是系统 的频率响应。 这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函 数是一切LTI系统的特征函
2、数。当以 为基底 分解信号时，LTI系统对输入信号的响应就是 ； 而以 为基底分解信号时，系 统的输出响应就是 。 用系统函数表征LTI系统稳定性： 如果系统稳定，则有 。 因此 必存在, 意味着 的ROC必然包 括 轴。 综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于S平面的左半边。 例1.某系统的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。 显然，ROC是最右边极点的右边。 ROC包括 轴系统也是稳定的。 的全部极点都在S平面的左半边。 第第 6 6 页页第第 6 6 页页 极点： 确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。 例3. 右边信号左边信号双边信号 判断因果性和稳定性！ 第
3、第 7 7 页页第第 7 7 页页 结 论： 1. 如果LTI系统的系统函数是有理函数，且全部 极点位于S平面的左半边，收敛域是最右边极 点的右侧。则系统是因果、稳定的。 2. 如果LTI系统的系统函数是有理函数，且系统 因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右 边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最 左边极点的左边。 3.如果LTI系统是稳定的，则系统函数的ROC必然 包括 轴。 三. 由LCCDE描述的LTI系统的系统函数： 对做双边拉氏变换，可得 是一个有理函数 的ROC需要由系统的相关特性来确定。 1）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则 的ROC必是最右边极点的右边。 2）如果
4、已知LCCDE描述的系统是稳定的，则 的ROC 必包括 轴。 6.26.2由系统函数零、极点分布决定由系统函数零、极点分布决定 时域特性时域特性 冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点： 1可以预言系统的时域特性； 2便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）； 3可以用来说明系统的正弦稳态特性。 二H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应 在s平面上，画出H(s)的零极点图
5、： 极点：用表示，零点：用表示 6.2.1零极点与时域特性 1系统函数的零、极点 例4 极点： 零点： 画出零极点图： 2H(s)极点分布与原函数的对应关系 几种典型情况 一阶极点 当 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 ，极点在右半平面，增幅振荡 二阶极点 有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 ， 这表明的极点位于左半平面，由此可知， 收敛域包括虚轴， 均存在，两者可通用，只 需 将即可。 6.2.2自由响应与强迫响应,暂态响应与稳 态相应 激励： 系统函数： 响应： 自由响应分量 强制响应分量 试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状 态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分
6、量和 稳态响应分量。 例 给定系统微分方程 解：方程两端取拉氏变换 零输入响应零状态响应 则 稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应 极点位于s左半平面极点位于虚轴 暂态响应稳态响应 H(s)的极点E(s)的极点 自由响应强迫响应 几点认识 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数 都有关。 响应函数r(t)由两部分组成： 系统函数的极点自由响应分量； 激励函数的极点强迫响应分量。 定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。 暂态响应和稳态响应
7、 瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关成分，随着t增大，将消失。 稳态响应完全响应瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。 例 (1)在零初始状态下，对原方程两端取拉氏变换 所以 (2) 因为 所以 所以 令分子中每一项 分母中每一项 6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性 画零极点图 当 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都 随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 由矢量图确定频率响应特性 第第 2929 页页第第 2929 页页 例1 电路的s域分析 研究下图所示RC低通滤波网络 的频响特性。 写出网络转移函数表达式 解: 第第 3030
8、 页页第第 3030 页页 频响特性 第第 3131 页页第第 3131 页页 其转移函数为 相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解： 低通滤波器高通滤波器 例2 电路的s域分析 第第 3232 页页第第 3232 页页 频响特性 第第 3333 页页第第 3333 页页 例 (1) (2) (3) 列方程 解： 第第 3434 页页第第 3434 页页 极点 故 第第 3535 页页第第 3535 页页 逆变换 设 则 波形 第第 3636 页页第第 3636 页页 第一种情况： 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 第二种情况： 引入符号 所以 第第 3737 页页第第 373
9、7 页页 第三种情况： 第四种情况： 第第 3838 页页第第 3838 页页 波形 补充：系统函数的代数属性与 系统的级联并联型结构 System Function Algebra and Block Diagram Representations 一.系统互联时的系统函数： 1. 级联： 包括 3. 反馈联结： 2. 并联： 包括 包括 第第 4141 页页 例 当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？ 加法器输出端的信号 输出信号 如图所示反馈系统，子系统的系统函数 第第 4242 页页 则反馈系统的系统函数为 为使极点均在s左半平面，必须 第第 4343 页页第第 4343 页页 连续系
10、统的方框图表示 一个连续系统可以用一个矩形方框图简 单地表示,方框图左边的有向线段表示系统的 输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出 y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分 ，是系统的主体。此外，几个系统的组合连 接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。 组成复合系统的每一个系统又称为子系统。 系统的组合连接方式有串联、并联及这两种 方式的混合连接。 第第 4444 页页第第 4444 页页 连续系统也可以用一些输入输出关系简单 的基本单元（子系统）连接起来表示。这 些基本单元有加法器、数乘器（放大器） 、积分器等。 第第 4545 页页第第 4545 页页 第第 4646 页页第第 4646 页页 例：某线性系统如图所示。求系统函数H(s)， 写出描述系统输入输出关系的微分方程。 第第 4747 页页第第 4747 页页 又得： 应用时域微分性质，得到系统微分方程为： 第第 4848 页页第第 4848 页页 6.5 系统的稳定性 1，罗斯判据 2，霍尔维茨准则
