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1、第八章 理想流体的有旋 流动和无旋流动 主要内容 理想流体微分形式的基本方程(连续方程、 运动方程) 流体微团运动分析（平移运动、变形运动 ） 二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算 为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础 两种方法 （1）微元控制体分析法 （2）有限控制体分析法 一、微分形式的连续方程 一、微分形式的连续方程 o y x z dmx dmx dx dy dz dt时间内x方向： 流入质量 流出质量 净流出质量 同理： dt时间内，控制体总净流出质量： 由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体 内由于密度变化而减少的质量，即 连续性微分方程 连续性方程的微分
2、形式 不可压缩流体 定常流动 即 二、 流体微团运动分解 流体微团：指大量流体质点组成的具有线 性尺度效应的微小流体团。 流体在运动过程中可能发生变形或旋转， 只要微团的运动分析清楚了，流场的运动 就知道了。 z x y M M0 dx dy dz 一般运动一般运动 平移平移 线变形线变形 旋转旋转 角变形角变形 M0 M 微团体积膨胀率：微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。 1. 1. 平移运动平移运动平移速度vx,vy 代表微团平移运动。 2. 2. 线形变运动线形变运动 ：为：为x x方向流体线的线变形速率方向流体线的线变形速率; ; ：为：为y y方向流体线的线变形速率
3、方向流体线的线变形速率; ; ：为：为z z 方向流体线的线变形速率。方向流体线的线变形速率。 x y 绕平行于绕平行于z z 轴的转动轴旋转角速度轴的转动轴旋转角速度 ： 4 4 旋转运动（由等分角线是否旋转来确定）旋转运动（由等分角线是否旋转来确定） 绕绕z z轴的轴的平均旋转角速度平均旋转角速度： 由对应的角速度由对应的角速度 3. 3. 角变形运动角变形运动 平面上两垂直流体线的平面上两垂直流体线的平均角变形速率平均角变形速率： Summary:Summary: 流体微团的运动由三部分组成：流体微团的运动由三部分组成： （1 1）以速度）以速度 v v 作平移运动；作平移运动； （2
4、2）绕某瞬时轴以平均角速度）绕某瞬时轴以平均角速度 旋转，不引起微团形状的改变；旋转，不引起微团形状的改变； （3 3）纯变形运动：线变形速率）纯变形运动：线变形速率 使流体微团的体积膨胀或缩使流体微团的体积膨胀或缩 小，角变形速率小，角变形速率 使流体微团发生角变形。使流体微团发生角变形。 速度分解定理的意义：速度分解定理的意义： uu（1 1）旋转运动从一般运动中分离出来，流体运动分为）旋转运动从一般运动中分离出来，流体运动分为无旋无旋和和有旋运动有旋运动; ; （2 2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来
5、 ，研究粘性流体运动规律。，研究粘性流体运动规律。 Taylor展开并略去高阶小量，有 t 时刻：流体微团 变形运动旋转运动 平移运动 亥姆霍兹运动分解定理 三、理想流体运动方程 牛顿第二定律 流体平衡的欧拉方程： 欧拉方法中加速度的表达形式： 流体运动欧拉方程 兰姆方程 当 流动是无旋的 ； 否则，流动是有旋的。 四、定解条件 1、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布 是研究非定常流动必不可少的定解条件 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。 A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度 流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向； B、流体交界面：在交界面同
6、一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。 五、五、 有旋流动的基本概念有旋流动的基本概念 有旋运动的基本特征有旋运动的基本特征: : 存在涡量场存在涡量场 。 积分时时间变量t 作常数处理。 涡线涡线 (Vortex (Vortex line):line): 任一时刻，涡线上每一点的 切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程 涡管涡管(vortex tube)(vortex tube): : 某一时刻，由涡线组成的管某一时刻，由涡线组成的管 状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束
7、（涡 线）。线）。 涡通量涡通量(vortex flowrate)(vortex flowrate): : 旋转角速度的值与垂 直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积 的两倍。涡量场的通量（涡强）。 速度环量速度环量( (velocity circulation):velocity circulation):速度在某一封闭周速度在某一封闭周 线切线上的分量沿该封闭周线的积分。线切线上的分量沿该封闭周线的积分。 速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关 ，规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方 向形成右手螺旋系统。 A B CD 从A点起逆时针方向积分，可以得到 微分形式的速
8、度环量为 六、六、 StokesStokes定理定理 将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到 六、六、 StokesStokes定理定理 速度环量定理（速度环量定理（StokesStokes定理）定理） 沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的 面积的涡通量。即：面积的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡通量和速度环量都是反映旋 涡作用的强弱。涡作用的强弱。 应用条件：单连通区域，应用条件：单连通区域， 即任意封闭周线都能连即任意封闭周线都能连 续地收缩成一点而不越出流体的边界。续地收缩成一点而不越出流体的边界。 例题 已知理想流体定常流动的速度分
9、布公式为 试求涡线方程与沿封闭周线 的速度环量，a，b为常数。 例题 已知平面流动的流速为: （1）检查是否连续；（2）是否无旋； 有旋流动 特点: 1、 2、 3、 第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理 1、汤姆孙定理：理想正压流体在有势质量力的作用下，速 度环量和旋涡都是不能自行产生或消失。理想流体没有 粘性。 2、亥姆霍兹定理： A、在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。涡管不 能在流体中开始或者终止，自能形自封闭管圈，或者在 边界上开始或终止。 B、理想正压流体在有势的质量力作用下，涡管永远保 持为由相同流体质点组成的涡管。 C、涡管强度不随时间变化，永远保持为定值。 涡管不可能在流体中开
10、始或终止，它只能自成封闭形 ，或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。 龙卷风开始和终止于地面与云层。 烟圈呈环形。 第八节 平面涡流 前提：重力作用，理想不可压流体。 一无限长，涡通量为J的铅直涡束，象刚体 一样以等角速度绕自身轴旋转。涡束周围 的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的 等速圆周运动。 涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区； 涡束外的流动为无旋流动，称为环流区。 第八节 平面涡流 v x y 环流区速度分布: 伯努利方程 : 涡核区: 由欧拉方程 ： 涡核边沿 ： 第八节 平面涡流 涡核中心区，流速为0， 压强为： 涡核边沿至涡核中心的压降为： 结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压
11、强 降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的 压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向 压强梯度大，故有向涡核中心抽吸作用。 应用：离心泵，旋风燃烧室，离心式除尘器等。 主要内容： 1、速度势； 2、流函数； 3、简单平面势流及其叠加。 第九节 速度势、流函数、流网 第九节 速度势、流函数、流网 一、速度势 为函数 全微分的充要条件 一、速度势 A B 积分与曲线 形状无关 不可压缩流体连续性方程： l不可压缩流体的有势流动中，速度满足拉普拉斯方程； l势函数为调和函数； l势流为不可压缩流体的无旋流。 二、流函数 对于不可压平面流动 l每条流线上，d=0，=常数，所以（x，y）为流函数
12、对于无旋流动： 流函数为调和函数 P206，qv=2-1，沿流线 全长，两流线间的流量保 持不变。 三、流网 对于不可压缩流体平面无旋流动中： 可知流线和等势线是正交的，等势线 和流线 形成了由相互垂直的交叉线组成的网， 称为流网。 流线 等势线 第十节 几种简单的平面势流 势函数的作用：对于不可压缩流体的无旋流动问 题归结为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯 方程问题。 求解：均匀等速流，源流和汇流，势涡 m 一、均匀等速流 流线平行，流速相等 其中vx0，vy0为常数 P=常数 二、源流和汇流 x y =const =const r 源流 x y =const =const r 汇流 定义
13、：在无限平面上，流体从一点沿径向直线均匀向各方流出， 称为源流。 若流体沿径向直线均匀从各方流入一点，称为汇流。 二、源流和汇流 伯努利方程: 压强随半径减小而降低 三、势涡 顺时针方向顺时针方向，若逆时针，上式加负号。 位于（位于（0 0，0 0）点涡：）点涡： 第十一节 简单平面势流的叠加 结论：调和函数可以叠加，叠加成的新函数仍然是调 和函数，流动仍然无旋；叠加成新平面势流的速度矢 等于原先平面势流速度的矢量和。 （1）汇流与势涡叠加螺旋流 第十一节 简单平面势流的叠加 流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流 出。离心泵、离心风机等外壳中的流动。 （2）源流与汇流的叠加 偶极子流 流量均
14、为qV， 第十一节 简单平面势流的叠加 当源点和汇点无限接近时，流量同时 为无穷大，以使 ，称 为偶极子流。 M为偶极子矩，也称偶极子流强度。 等势线方程（8-61），流线方程（8-62 ） 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 沿x轴正向速度为 v 的均匀等速流与沿x轴正向 强度为M的偶极子流的叠加。 x 流线方程： 零流线 =0， 流体不能穿过流线，零流线的圆代表圆柱的横截面。 零流线以原点为圆心，以r0为半径的圆 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 在无穷远处，为均匀等速流： 在零流线上： 流体不能穿过柱体，圆柱绕流时， 在=180。，和=0。 ，速度为0，称为驻点，在=+90。 速度达到 最大值 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 压力分布压力分布（无穷远处V，p ） 得全流场压力分布。 柱面上（r =r0） ： 压强系数 圆柱的前后驻点压强达到最大值，圆柱的上下顶点压强达到最小 值。压强对称分布，流体作用在圆柱面上总压力为0。 阻力：总压力平行于来流方向的分力。FD 升力：总压力垂直来流方向的分力。FL 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 第十二节 均匀等速绕过圆柱体的 平面流动 阻力为零阻力为零(Archimedes Paradox)(Archimedes Paradox) 圆柱体在理想流体中作等速
