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1、1.3.2 球的体积和表 面积 学习目标 1. 记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面 积和体积（重点）； 2. 能解决与球有关的组合体的计算问题（难点） 一、球的表面积与体积公式 1. 球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是 以R为自变量的函数。 事实上，如果球的半径为R，那么它的体积 这个公式以 后可以证明 一、球的表面积与体积公式 2. 球的表面积 设球的半径为R，它的表面积由半径R惟一确定 ，即它的表面积S也是以R为自变量的函数。 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积 这个公式以 后可以证明 一、球的表面积与体积公式 探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的 问题
2、 (1)计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量 ？ (2)若两球的半径之比为12，那么两球的表面积 之比及体积之比分别是多少？ (3)若两球的半径之比为R1R2，那么两球的表面积 之比及体积之比分别是多少？ （1）球的体积和表面积都是关于半 径R的函数，因此求体积和表面积 时，只需求出半径即可. （2）确定一个球的条件是球心和球 的半径，已知球的半径可以利用公 式求它的表面积和体积；反过来已 知体积或表面积也可以求其半径 练习1 1. 若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表 面积扩大到原来的多少倍？ 2. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩 大到原来的多少倍？ 【例4】 如图1.3
3、-8，圆柱的底面直径与高都等于 球的直径. 求证： 球的体积等于圆柱体积的 ； 球的表面积等于圆柱的侧面积。 二、球的截面 探究1：用任何一个平面去 截球所得的截面是什么形 状？ 探究2：球心和截面圆圆心 的连线与截面有何关系？ 探究3：若球的半径为R， 截面圆半径为r，则球心到 截面的距离d是多少？ R r d 练习2 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积 为，则该球的体积是多少 ？ 【例1】ABC的三个顶点在球O的表面上，且 AB= ，AC=2，BC=6.球心O与BC中点的连线 长为4，求球的表面积与体积。 6262 三、由三视图求与球有关的组合体的 体积与表面积 【例2】某个几何体
4、的三视图如图（单位：m） 求该几何体的表面积； 求该几何体的体积。 【变式训练2】某几何体的三视图如图，它的体积 为（ ） A.72 B.48 C.30 D.24 四、重难探究球的表面积与体积 【变式训练1】若两球的表面积之差为48，它们 的半径之和为6，求两球的体积之差。 五、与球有关的组合体的性质 如底面半径为r，高为h的 圆锥的内部有一球O，且 球与圆锥的底面和侧面均 相切。 过球心O和圆锥的顶点作 圆锥的截面，如图所示， 则球心是等腰三角形ABC 的内接圆的圆心，AB和AC 均是圆锥的母线，BC是圆 锥底面直径，D是圆锥底 面的圆心 B C E O D A B C E O D A 解与
5、球有关的组 合体的性质的问 题时，可通过画 过球心的截面 来分析。 五、有关球的切、接问题 一、正方体的内切球 正方体的内切球的半径是棱长的一半，即直径等于棱长 球与正方体六个 面均相切，切点 为各面的中心 过球心的截面 A B CD 五、有关球的切、接问题 一、正方体的内切球 A B O 正方体的内切球的半径 是棱长的一半， 即直径等于棱长 球与正方体六个面均相 切，切点(A，B)为各面 的中心 五、有关球的切、接问题 二、正方体的棱切球 五、有关球的切、接问题 二、正方体的棱切球 正方体的棱切球半径是面对角线长的一半 即直径为面对角线 A A D C B B D C 与12条棱均相切 ，切
6、点为各棱中 点 过球心的截面 E FG H 五、有关球的切、接问题 三、正方体的外接球 正方体的外接球半径是体对角线的一半 即球直径等于体对角线 C D 正方体的八个顶 点与球相接 五、有关球的切、接问题 C D A A D C B B D C 正方体的内切球的直 径等于棱长，即 d = a （或 ）； 正方体的棱切球的直 径等于面对角线，即 （或 ） 正方体的外接球的直 径等于体对角线，即 （或 ） 五、有关球的切、接问题 1. 有一个球与棱长为 a 的正方体的12条棱都相切 ，则这个球的体积应为多少？ 2. 一个正方体内接于表面积为4的球，则该正方 体的表面积是多少 ？ 五、有关球的切、接
7、问题 长方体的外接球 o A A D C B B D C 长方体的共顶点的三个 棱长分别是3 ,4, 5 ，求长 方体的外接球的表面积 球与正方体的组合体问题 与球有关的组合体 正方体的内切球的直径等于棱长，即 d = a（ 或 ）； 正方体的棱切球的直径等于面对角线，即 （或 ） 正方体的外接球的直径等于体对角线，即 （或 ） 六、正四面体与球的组合问题正 四面体的内切球 【例3】各棱长为 的四面体内有一内切球，求该 球的半径。 O O1 通常用等体积法 求一个多面体的内 切球的半径。 六、正四面体与球的组合问题正 四面体的外接球 【变式训练3】求本例中四面体外接球的半径。 六、正四面体与球
8、的组合问题正 四面体的外接球 正四面体可以看作由过正方 体顶点截去四个角得 到，所以正四面体的外接球 就是对应正方体的外接球。 （其棱长为正方体的面对角 线） A B C D A B C D 六、正四面体与球的组合问题正 四面体的外接球 正四面体的棱切球 同理，正四面体的 棱切球就是对应正 方体的内切球。 A B C D 解决与球有关的组合体问题的解题 技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析 图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关 系，并且作出合适的截面图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面 解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱 和球心、切点或接点作出截面图. 课堂小结 1. 球体的体积与表面积公式； 2. 球与组合体的关系。 正方体的内切球、棱切球、外接球 以及正四面体的内切球、棱切球、外接球 3. 正四面体的棱切球是对应正方体的内切球； 正四面体的外接球是对应正方体的外接球。 作业 1. 把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的 圆柱，则圆柱的高为多少？ 2. 一个体积为1cm3的正方体的顶点都在球面上， 则球的表面积是多少？ 3. 一个各棱长都为 的四面体的四个顶点在同 一球面上，则该球的表面积为多少？
