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1、第二章 随机变量及其分布 一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布 三、随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布 第一节 为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规 第二章 实数对应起来，将随机试验结果数量化。 随机变量 律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与 定义1.设随机试验的样本空间 在样本上的实值单值函数， 称 是定义 为随机变量。 例1.对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。 设 为随机变量。 其中 表示事件A：结果 样本空间 出现正面，即 同理其中表示事件 一、随机变量的定义 结果出现反面,即 例2.测量某工厂一天生产灯泡的寿命。 样本空间 设，
2、其中，则 X 为随机变量。 寿命 表示一事件A， 例如 例3.某战士射击命中率为 ,设首次击中目标所需射击 次数为 ,则随机变量 随机变量定义在样本空间 S 上,定义域可以是数也可 以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。 2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定 的概率；而普通函数却没有。 三、随机变量的分类 随机变量 非离散型随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 其它 二、随机变量函数和普通函数的区别 1. 定义域不同 离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义 二、常用的离散型随机变量 第二节 定义1.若某个随机变量的全部可能取值是有限个或 无限可列多个，则称
3、这个随机变量是离散型随机变量。 定义2.设离散型随机变量的所有可能取值为,其中 取各个可能值的概率，即事件 的概率 一、离散型随机变量的定义 表示一个事件,并且 为 的值域。 满足： 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 分布律也可用如下表格的形式表示 分布律的 判断条件 例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号 灯，每盏信号灯以概率允许或禁止汽车通过, 表示汽车首次停下通过的信号灯盏数(设各信号灯的工 作是相互独立的）,求的分布律。 解 由题意可知 的分布律为，则 显然， 的分布律满足 ； 将带入可得的分布律为 解 S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT
4、 则 例2.设一均匀的硬币抛三次为一次试验，为正面 出现的次数，求随机变量的分布律。 . (01)分布 定义1.如果随机变量的分布律为 则称服从参数为 的(01)分布。 即 或 二、常用的离散型随机变量及其分布 （01）分布的分布律也可写成 注 服从（01）分布的随机变量很多，如果涉及的试 验只有两个互斥的结果： ，都可在样本空间上定义 一个服从（01）分布的随机变量： 下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的 分布-二项分布 1.伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是 研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由 它推导） n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中
5、各 结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 伯努利概型 设随机试验E只有两种可能结果，且 将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验 为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。 . .二项分布二项分布 引例：某人打靶单发命中率为现独立重复射 击3次，求恰好命中2发的概率。 解表示“第i次命中” 表示“恰好命中两次” 定理（伯努利定理）P24 n重伯努利试验中,“事件 恰好发生k次”,即 的概率为： 例1从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗， 到各个岗遇到红灯是相互独立的， 且概率均为0.3, 求 某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。 解 途中遇到 4次经交通岗为4重贝努利试验，
6、其中 例3.袋中装有30只红球, 70只蓝球, 现从袋中有放 回地抽取5 次, 每次取1 只球, 试求: 1) 取出的5只球中恰有 2 只红球的概率; 2) 取出的5只球中至少有 2 只红球的概率； 解: 取到红球的概率为0.3 , 5 次取球相互独立 故为5 重伯努里概型,设 X 为取到红球的次数 1) 2) 在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现 特大洪水的可能性。 假定该处每年出现特大洪水的概率 都是 0.1 ， 且特大洪水的出现是相互独立的， 求在今后 10年内至少出现两次特大洪水的概率。 解 设 A “出现洪水” “不出现洪水” 例4 定义2.如果随机变量的分布律为 则称服从参数
7、为的二项分 其中 布，记为 容易验证 由二项式定理 特别,当时,二项分布为 这就是（01）分布，常记为 2 2. . 二项分布二项分布 3. 二项分布的分布形态 若，则 由此可知，二项分布的分布律(右图) 先是随着 到其最大值后再随着 的增大而减小. 这个使得达到其最大值的 称为该二项分布的最可能次数。 的增大而增大，达 例4 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地 取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品 的概率. 表示所取的3个中的次品数， ，于是所求概率为则 解：设 注： 若将本例中的“有放回”改为“无放回”，那么各 次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用 古典概
8、型求解. 例5 一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20 只，问20只元件中恰好有 为一级 品的概率为多少？ 解 设表示20只元件中为一级品的只数， 这个试验可以看作伯努利试验。 例6 某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试 求至少击中2次的概率？ 解 设表示击中的次数，则 所以分布律 则所求概率 例4. 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的 , 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障由 一个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护， 每人负责20台，其二是由3人共同维护80台，试比 较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概 率的大小。 定理1（泊松Poisson定
9、理) 设是一常数，n是 正整数，若，则对任一固定的非负整数 证明 由得 对于任意固定的 故有 注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当 时，即为（01）分布；当时， 二项分布近似于下面介绍的泊松分布。 定义1. 设随机变量所有可能取的值为0,1,2,而 且概率分布为： . 泊松分布 其中，则称服从参数为的泊松分布，记 泊松定理的意义： 泊松分布的图形特点： 当 n 很大，p 很小时， 泊松定理表明： 泊松分布是二项分布的极限分布， 参数 = n p 的泊松分布 二项分布就可近似看成是 例1 一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数 服从参数为的泊松分布，求至少发生两次 事故的概率。 解
10、随机变量 则 解 由已知得： 所以分布律为 例2 随机变量,已知 求的值，并写出 的分布律。 例3 某城市有1%色盲者，问从这个城市里选出多少 人才能使里面至少有一位色盲患者的概率少于0.95？ 解 设选出n个人，n人中色盲患者为 则 两边取对数 所以得 随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 第三节 为X 的分布函数。记作 设 X 是一个随机变量，定义1是任意实数，称函数 的值就表示X 落在区间上的概率.分布函数 一、分布函数的概念 由定义，对任意实数 上的概率 ，用F(x)刻画随机点落在 功能式 区间 由于 得 解 (1) 当时， 当时， 则 例1 设随机变量X
11、 的分布律为 求(1) X 的分布函数； (2) 当时， 则 当时， 则 所以 (2) 一般地，设离散型随机变量的分布律为 由概率的可列可加性得的分布函数为 请看41页 二、分布函数的性质 单调不减性： 右连续性：对任意实数 x 归一 性： ，则 具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分 布函数。 故该三个性质是分布函数的充分必要性质。 对任意的 解 例2 已知，求 A、 B。 所以 例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为 求 X 的分布律。 解 X 的可能取值为 3，4，5。 所以 X 的分布律为 例1. 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并 设射击都能击中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求X的分布函数.
