和差倍数问题.

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1、和差倍数问题 和差应用题 和差应用题的基本“数学格式”是： n已知大、小二数的和与差，求此二数 。 n大、小二数的数量关系可表示为下面 的线段图： 从线段图知：从线段图知： (1)(1)如果在小数中补进去一个已知的如果在小数中补进去一个已知的“ “差差” ”，那么补后的小数，那么补后的小数 与大数的和就是大数的与大数的和就是大数的2 2倍，即已知的和与已知的差之和倍，即已知的和与已知的差之和 是大数的是大数的2 2倍。所以，倍。所以， 大数大数=(=(和和+ +差差)2)2，小数，小数= =和和- -大数。大数。 (2)(2)如果在大数中去掉一个已知的差，那么去掉了如果在大数中去掉一个已知的差

2、，那么去掉了“ “差差” ”的大的大 数与小数之和就是小数的数与小数之和就是小数的2 2倍，即已知的和与已知的差之倍，即已知的和与已知的差之 差是小数的差是小数的2 2倍。所以，倍。所以， 小数小数=(=(和和- -差差)2)2，大数，大数= =和和- -小数。小数。 由此得到和差公式：由此得到和差公式： 大数大数=(=(和和+ +差差)2)2， 小数小数=(=(和和- -差差)2)2。 例如，已知二数之和为324，二数之差 为152，求此二数。由和差公式知， 大数大数=(324=(324152)2152)2238238， 小数小数=(324-152)2=(324-152)28686。 例1

3、小军和他爸爸今年的年龄之和是42 岁，年龄之差是26岁。小军与他爸爸今 年各多少岁？ n分析：与和差问题的基本数学格式对比知，如果把爸爸 的岁数看成“大数”，小军的岁数看成“小数”，那么它们 的和为42，差为26。由和差公式可以求解。 解：爸爸的岁数=(4226)234(岁)， 小军的岁数=(42-26)28(岁)。 答：今年小军8岁，爸爸34岁。 本题中，求出爸爸的岁数后，小军的岁数也可以由 (和-大数)求得，即42-348(岁)；还可以由(大数- 差)求得，即34-268(岁)。 例2 三年级一班有学生49人，其中女生比 男生少5人。这个班男、女生各多少人？ n n 解：男生解：男生(49

4、(495)25)227(27(人人) )， 女生女生 49-27=22(49-27=22(人人) )。 答：男生答：男生2727人，女生人，女生2222人。人。 例3 一条客轮在一条江上往返载客。顺 江而下时，每小时行80千米，逆江而上 时，每小时行50千米。求这条客轮在静 水中的速度和这条江的水流速度。 n分析：因为 n顺流速度=静水速度+水流速度， n逆流速度=静水速度-水流速度， n根据题意，静水速度与水流速度之和为80千米/时， 它们的差为50千米/时，所以，这是和差问题。 解：静水中船速为 (8050)265(千米/时)， 水流速度为 80-65=15(千米/时)。 答：静水中船速6

5、5千米/时，流速15千米/时。 例4 哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄 妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是 多少岁？ n分析：由于“年龄差”不随年份的推移而变 化，所以，兄妹的年龄差始终是14-86(岁) 。当兄妹的岁数和是42岁时，由和差公式 可以求解。 解：哥哥为 (426)224(岁)， 妹妹为 42-2418(岁)。 答：那时哥哥24岁，妹妹18岁。 例5 方方和圆圆共有图书70本，如果方方给 圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本。问： 方方和圆圆原来各有图书多少本？ n分析：方方给圆圆5本后，两人共有图书70本， 圆圆比方方多4本。这是典型的和差问题。求出 此时两人各多少本书后，就可

6、以求出原来两人各 有多少书。 解：如果方方给圆圆5本，那么圆圆就有 (704)237(本)， 所以，原来 圆圆有37-532(本)，方方有703238(本)。 答：方方有38本，圆圆有32本。 例6 甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙 、丙共有书47本。问：甲、乙、丙各有 多少本书？ n分析：和差问题是指两个数的和与差，现在出现 了三个数，需要化为两个数的和差问题。因为“ 甲的书比乙多9本，比丙多2本”，说明乙的书比 丙少9-27(本)。由“乙、丙共有书47本”，乙比丙 少7本，可用和差公式求解。 解：乙有书 47-(9-2)220(本)， 丙有书 47-2027(本)， 甲有书 20929(本

7、)。 答：甲有29本，乙有20本，丙有27本。 n练习 n1.一农业技术员做良种对比试验。选两块大小相同、水土完全一 样的土地，一块种良种小麦，一块种非良种小麦。结果共收获 884千克，良种小麦比非良种小麦多收156千克。求良种与非良种 小麦的产量分别是多少千克？ n2.水果店一天卖出苹果和梨共386千克，梨比苹果少卖84千克。苹 果和梨各卖多少？ n3.一条船在一条江上的两个码头之间往返行驶。顺江而下时，每 小时行70千米，逆江而上时，每小时行30千米。静水中的船速和 江水的流速各是多少？ n4.弟弟今年15岁，姐姐今年20岁。当姐弟俩岁数的和是75岁时， 两人各多少岁？ n5.两堆石子相差

8、16粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都 是28粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？ n6.红红与兰兰共有61本书，红红给了兰兰5本书，兰兰自己又新买 了3本书，红红现在比兰兰少2本书。问：两人原来各有几本书？ n7.甲仓库存粮比乙仓库多300吨，比丙仓库少100吨，乙、丙仓库 共存粮3000吨。三个仓库共存粮 和倍应用题 n小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结 构形式和数量关系，形成了一些用特定方法解答 的典型应用题。比如，和倍应用题、差倍应用题 、和差应用题等等。 n和倍应用题的基本“数学格式”是： n已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍 ，求大、小二数各是多少。 n上面

9、的问题中有“和”，有“倍数”，所以叫做和倍 应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数 的数量关系，画出线段图如下： n从线段图知，“和”是小数的(倍数 +1)倍，所以， 小数=和(倍数+1)。 n上式称为和倍公式。由此得到 大数=和-小数， 或 大数=小数倍数。 例如，大、小二数的和是265，大数 是小数的4倍，则 小数=265(41)=53， 大数=265-53=212或534=212。 例1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓 库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙 两仓库各存粮多少吨？ n分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓 库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和 倍应用题。根据和倍公式即

10、可求解。 解：乙仓库存粮 264(101)24(吨)， 甲仓库存粮264-24=240(吨)，或2410=240( 吨)。 答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。 例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同 时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲 车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车 每小时各行多少千米？ n分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是 乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用 “和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360千米，故1 时共行 3602180(千米)，这就是两辆车的速度和。 解：乙车的速度为 (3602)(21)= 60(千米/时)

11、， 甲车的速度为 602=20(千米/时)，或180-60=120(千米/时)。 答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。 n从上面两道例题看出，用“和倍公式” 的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁，“ 和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极 为明显，其中例2中虽未直接给出“和” ，但也很容易求出。下面我们讲几个“1 倍”数不太明显的例子。 例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要 调入乙队多少人，乙队人数才是甲队 人数的3倍？ n分析：容易求得“二数之和”为 4575=120(人) 。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出 “1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了，从75 不是

12、45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？ 根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数 关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的 乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍 。由此画出线段图如下： n解：甲队调动后剩下的人数为 n(4575)(31) 30(人)，故甲队调入 乙队的人数为45-3015(人)。 n答：甲队要调15人到乙队。 n n 从图中看出，把甲队中从图中看出，把甲队中“ “？” ”人调入乙队后，人调入乙队后，(45(45 75)75)就是甲队剩下人数的就是甲队剩下人数的 3 31 14( 4(倍倍) )。从而，。从而， 甲队调走人后剩下的人数就是甲队调走人后剩下的人数就是“

13、 “1 1倍倍” ”数。由和倍数。由和倍 公式可以求解。公式可以求解。 例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使 哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥 哥多少本书？ n仿照例3的分析可得如下解法。 n解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后 剩下图书的(61)倍，根据和倍公式，妹妹 剩下 n(5324)(61)11(本)。故妹妹给哥哥书 24-1113(本)。 n答：妹妹给哥哥书13本。 例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后 来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而 小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑 菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔 各采了多少个蘑菇？ n分析与解：这道题

14、仍是和倍应用题，因为有“和” 、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160 2010150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10 个后的蘑菇数”。线段图如下： n根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇( 即“1倍”数) (160-2010)(51)25(个)， n故小灰兔原有蘑菇25-1015(个)， 大白兔原有蘑菇 160-15145(个)。 n答：原来大白兔采蘑菇145个，小 灰兔采15个。 n练习 n1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3 倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？ n2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出 的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克？ n

15、3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲 桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的 3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？ n4.甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙 有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的 合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？ n5.团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公 顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数 多2倍？ n6.红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书 又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每 种书各有多少本？ 差倍应用题 n与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“ 基本数学格式”是： 已知大、小二数之“差”，又知大数是小数 的几倍，求大、小二数各是多少。 n上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以 叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数 的数量关系可以用下面的线段图表示： n从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍 数-1)倍，所以， 小数=差(倍数-1)。 n上式称为差倍公式。由此得到 n大数=小数+差，或 大数=小数倍数。 例如，大、小数之差是152，大数是 小数