理论力学第二章.

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1、2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.3 平面力对点之矩的概念与计算 2.4 平面力偶 1武汉大学出版社 第二章 平面汇交力系和平面力偶系 一.平面汇交力系的概念 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系：各力在同一平面内，作用线交于一 点的力系。 T T1 T2 例：起重机的挂钩。 图2.1 力多边形3 设有一个平面汇交力系 、 、 、 作用于汇交点，如图2-1a 所示。我们可以依次地应用力三角形法则来求该平面汇交力系的 合力。即先将力 与 合成为一个力 ，再将力 与 合成 为一个力 ，最后将力 与 合成，即得该平面汇交力系的合 力

2、，且合力的作用线通过汇交点，如图2-1b所示。 (a) (b) (c) 二、平面汇交力系合成的几何法 从图21b可见，在合成该平面汇交力系的合力时，也可不必将中间力矢量 、 一一求出。只需从力 的终点B作出与力 相等的矢量 ，再从 的终点C作出一个与力 相等的矢量 ，最后从 的终点D作出一个与 力相等的矢量力相等的矢量 。连接 的始点A与最后一个矢量的终点 E，即矢量 即为平面汇交力系的合力。如图2-1c所示。多边形称为力多边形， 称为力多边形的封闭边。这种求合力的方法称为力多边形法，也称几何法。 上述求合力的方法可以推广到任意个平面汇交力系的情况，于是得到如下 结论： 平面汇交力系合成的结果

3、是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合 力等于力系中各力的矢量和。即： （2-1 ） 从图21b可见，在合成该平面汇交力系的合力时，也可不必将中间力矢量 、 一一求出。只需从力 的终点B作出与力 相等的矢量 ，再从 的终点C作出一个与力 相等的矢量 ，最后从 的终点D作出一个与 力相等的矢量力相等的矢量 。连接 的始点A与最后一个矢量的终点 E，即矢量 即为平面汇交力系的合力。如图2-1c所示。多边形称为力多边形， 称为力多边形的封闭边。这种求合力的方法称为力多边形法，也称几何法。 三、平面汇交力学平衡的几何条件 当力多边形自行闭合，即合力 ，于是平面汇交力系平衡；反之，若平面汇 交力系

4、平衡，即合力 。所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力多边形 自行闭合，或平面汇交力系的合力等于0，即 (2-2) 求解平面汇交力系平衡问题的几何法的解题步骤： （1）选取研究对象； （2）画受力图； （3）作封闭力多边形； （4）求解未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量的大小和方向角 ，或者用三角公式或者用平面几何知识来计算未知量。前者称为几何作 图法，后者称为半几何法，统称几何法。 解（1）取销钉C为研究对象； （2）画销钉C的受力图，如图2-2（b)示； （3）作封闭力三角形，如图2-2(c)示。 图2-2 由于封闭的力三角形与三角形ABC相似，故 解得 也可给P一定比例，量出F

5、CA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得 例2.1 AC和BC两杆用铰链C连接，两杆的另一端分别铰支在墙上，如 图2-2(a)示。在点C悬挂重10kN的物体，已知AB=AC=2m,BC=1m,如杆重 不计，求两杆所受的力。 例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物 。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力 。 选碾子为研究对象 取分离体画受力图 解： r F NA 又由几何关系： 当碾子刚离地面时NA=0, 这时拉力F和自重及 支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作

6、用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。 F=11.5kN , NB=23.1kN所以 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 已知： ,各杆自重不计； 求： 杆及铰链 的受力 . 例2-3 按比例量得 用几何法，画封闭力三角形. 解： 为二力杆，取 杆，画受力图. 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 （1） 二.平面汇交力系合成的解析法 (a) (b) (c) 将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有 (d) （今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得 上式即为合力投影定理，即合力在任一轴

7、上的投影，等 于其各分力在同一轴上投影的代数和。 上述投影定理不仅对力矢适用，对于其它矢量也同样成 立。根据式（1）可求得合力矢的大小和方向余弦为 （2） 三、平面汇交力系的平衡方程 平衡条件 平衡方程 （3） 即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两 个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式（3）称为平面 汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两 个未知量。 这里要指出，为了避免利用式（3）解联立方程 ，在选择投影轴时，最好使两投影轴其中之一垂直 一个未知量，这样可以使方程求解未知量简化；另 外，受力图中的未知力的指向未知，可以假设，若 计算结果为正值，表示假设指向与力的实际指向

8、相 同，反之，若计算结果为负值，表示假设指向与力 的实际指向相反；同时，在后面计算中，则不必更 正力的负值符号，直接以负值代入方程计算。 求：此力系的合力. 解：用解析法 例2-3 已知：图示平面共点力系； 已知 ： 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 例2-4 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系 解得： 解得 ： 解析法求平面汇交力系反力的步骤： （1）取研究对象，画研究对象的受力图；反力方向若不确定， 可以假设。 （2）建立直角坐标系：使其中一个坐标轴垂直于一个未知力； 若平面汇交力系

9、中反力是对称的，则沿对称方向建立坐标轴。 （3）列出平面汇交力系的平衡方程，求出未知反力。 注意：根据平面力系平衡方程求反力，一定要先考虑思路后列 方程，尽量做到一个方程含有一个未知量，避免解联立方程。 例2-5 图示四连杆机构，在A、B点分别作用FA、FB ，求：机构平衡时FA与FB力的关系。 解: A B C D 300 600 450 B 300 600 FBA=FAB A A 450 B 例2-6 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND= ？滑轮的大小、自重与绳的摩擦不计。 解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为 由得 由得 例例 2-72-7 已知：P，a 求：求：A A、

10、B B处约束反力。处约束反力。 2 2a a P a a A B C D 解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象 （2 2）画受力图）画受力图 FB x y 解上述方程，得 （3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解 FA B M F A C FBC FBA F B C FCB FM FNC 已知：F， 例例 2-82-8 求：物块M的压力。 解：（1）取销钉B为研究对象 （2）取挡板C为研究对象 解得 解得 力对物体可以产生 移动效应-取决于力的大小、方向； 转动效应-取决于力矩的大小、方向。 一、力对点的矩 + - 2-3 平面力对点之矩的概念和计算 力矩：力

11、绕某一点转动效应的度量。 A F B d 是代数量。 当F=0或d=0时， =0。 是影响转动的独立因素。 =2AOB=Fd ,2倍形面积。 说明： F,d转动效应明显。 单位Nm或kNm 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 即： 二、合力矩定理 由合力投影定理有：证Od=Ob+Oc 又 解:直接按定义 按合力矩定理 例2-7 求: 已知: 例2-8 已知：如图 F、Q、l, 求： 和 解：用力对点的矩法 应用合力矩定理 例 求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理 解二：由定义 三、力矩与合力矩的解析表达式力矩的平衡 力矩的平衡方程，该方程最多解一

12、个未知力。 例2-9 求： 已知： 平衡时， 杆的拉力. 由力矩平衡条件 解得 解： 为二力杆，取踏板 由合力矩定理 得 解：取微元如图 例2-10 求： 已知： 合力及合力作用线位置. 例2-11 求： 3.力 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 至少多大？ 1.水平拉力 时，碾子对地面及障碍物的压力？ 已知： 解:1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形 2.碾子拉过障碍物， 应有 用几何法解得 解得 3. 2-4 平面力偶理论 一.力偶和力偶矩 1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 两个要素 a.

13、大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂. 2.力偶矩 + 二、平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，力偶在任意坐标轴上的投影等于零， 力偶不能和力平衡，力偶只能和力偶平衡。 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。 注意：O点是任取的 F F d O xA B 性质3：平面力偶等效定理 作用在同一物体同一平面内的两个力偶，只要它的力偶 矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。 两个推论： 力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作

14、用效应。 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力 的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效 应。 = 已知： 任选一段距离d 三.平面力偶系的合成和平衡条件 = = = = = 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数 和等于零。平面力偶系的平衡方程最多解一个反力。 平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 结论： 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各 力偶矩的代数和。 解得 解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为 例2-12 求： 光滑螺柱 所受水平力. 已知： 例2-13 求：平衡时的 及铰链 处的约束力. 已知 解：取轮,由力偶只能由力偶

15、平衡的性质,画受力图. 解得 解得 取杆 ，画受力图. 例2-14：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽 中滑动，已知：L=0.2m，M1=200Nm，a=300，求： 平衡时M2。 解：BC: Mi=0, FCLsin300M1=0, 得:FC=FB=2000N AD: Mi=0, M2FCL/sin300=0, 得：M2=800Nm。 M1 a B A D L C M2 FC FC FB FA BC M1 B C AAD M2 D 例2-15图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。 解：1、研究对象二力杆：AD 2、研究对象： 整体 思考：CB杆受力情况如何？ m 练习： 解：1、研究对象二力杆：BC 2、研究对象： 整体 m ADAD杆杆