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1、第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 西北工业大学西北工业大学 支希哲支希哲 朱西平朱西平 侯美丽侯美丽 动 力 学 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 55 消除附加动压力的条件 动平衡和静平衡 54 定轴转动刚体对轴承的动压力 53 动静法应用举例 52 惯性力系的简化 5 1 达朗贝尔原理 第 五 章 达 朗 贝 尔 原 理 目录 动 力 学 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 达朗贝 尔原理。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍
2、定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力 ；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。 第五章 达朗贝尔原理 引 言 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 工程实际问题 第五章 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌 工程实际问题 第五章 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 爆破时烟囱怎样倒塌爆破时烟囱怎样倒塌 工程实际问题 第五章 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 车底盘距路面的高度为什么不同？车底盘距路面的高度为什么不同？ 第五章 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原
3、理达朗贝尔原理 舰载飞机降落过程中的动力学问题 拦阻装置为什么装在飞机的后部？拦阻装置为什么装在飞机的后部？ 第五章 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理 5-1 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 A B M 该质点的动力学基本方程为 设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力FN作用下沿曲线运动， F* F FN 或 引入质点的惯性力F* =ma 这 一概念，于是上式可改写成 上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和 质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。 ama 5-2
4、达朗贝尔原理 一、质点达朗伯原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理的投影形式 质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理 5-2 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点 上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平 衡力系。 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。 这就是质点系的达朗贝尔原理。 5-2 达朗贝尔原理 二、质点系达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡
5、方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有 质点系达朗质点系达朗贝尔贝尔原理原理 5-2 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。 上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。 达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点
6、系动力学方 程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。 质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 5-2 达朗贝尔原理 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的简化 刚体常见运动情况下 惯性力的主矢和主矩 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 由质心运动定理有 F = maC ,得 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向 任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是 ，由力系平衡条件，可得 即,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘积，而 取相反方向。 一、 惯性力系的简化 1.惯性力系
7、的主矢 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 由对任意固定点O的动量矩定理有 ， 现将上式两端投影到任一固定轴Oz上， 上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的主矩， 等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负号。 2.惯性力系的主矩 代入 得 对任意固定点对任意固定点 对固定轴对固定轴 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴）的主 矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数，并冠以负 号。 以及它在通过质心C的某一平动轴上的投影表达式 利用相对于质心的动量
8、矩定理，可以得到质点系的惯性力对质心 C的主矩表达式 惯性力惯性力系的主矩系的主矩 对质心点对质心点 对质心轴对质心轴 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 惯性力惯性力系的主矩系的主矩 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。 惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 注注 意意 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 1. 刚体作平动 aC a1 a2 an M m2 mn m1 F*n F*1 F*2 F* 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。 刚体平移时，惯性力系向质心简化 主矢 主矩 5-2 惯性力系的简化 二、刚体常见运动情况下惯
9、性力的主矢和主矩 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 O C z z y y x x 2. 刚体做定轴转动 设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬 时的角速度为，角加速度为。 主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。 设质心C的转动半径为rC，则 和 的大小可分别表示为 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。 其中 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 5-2 惯性力系的简化 O C z y x 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 主矢 具有质量对称平面的刚体绕垂直于 质量对
10、称平面的固定轴转动时，惯性力 系向固定轴简化，得到的惯性力系主矢 的大小等于刚体质量与质心加速度大小 的乘积，方向与质心加速度方向相反。 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 5-2 惯性力系的简化 O C z y x 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 O C z y x 即 对转轴的主矩 将刚体对转轴Oz的动量矩 代入 可得刚体惯性力对轴 Oz的主矩 M*M* z z 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 具有质量对称平面的刚体绕垂直 于质量对称平面的固定轴转动时，惯 性力系向固定轴简化的结果，得到合 力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩， 其
11、大小等于刚体对转动轴的转动惯量 与角加速度的乘积，方向与角加速度 方向相反。 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 对转轴的主矩 5-2 惯性力系的简化 O C z y x M*M* z z 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 主矢 对转轴的主矩 合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量 与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 具有质量对称平面的刚体绕垂直于 质量对称平面的固定轴转动时，惯性力 系向固定轴简化的结果，得到一个合力 和一个合力偶。 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体 对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方 向相反。 刚体做定轴转动刚体做
12、定轴转动 O C M*z 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 3. 刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动 平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将 刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这 一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作 进一步简化。 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 3. 刚体作平面运动 若取质心C为基点，则刚体的平面运动可以 分解为随质心C的平动和绕质心（通过质心且垂 直于运动平面的轴）的转动。 C aC ri mi aC 刚体上各质点的加速度及相应的惯性力也 可以分解为随质心的平动
13、和绕质心轴的转动两 部分。 于是，此刚体的牵连平动惯性力可合成为 作用线通过质心、且在对称面内的一个力F*。 因质心C在相对运动的转轴上，故刚体 的相对转动的惯性力合成为一力偶。 F* M*C 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与 质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化 的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平 面内。 合力的矢量即为惯性力系的 主矢，其大小等于刚体质量与质心 加速度大小的乘积，方向与质心加 速度方向相反。 主矢 5-2 惯性力系的简化 C aC ri mi aC F* M*C
14、 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 合力偶的力偶矩即为惯性力 系的主矩，其大小等于刚体对通 过质心的转动轴的转动惯量与角 加速度的乘积，方向与角加速度 方向相反。 主矩 5-2 惯性力系的简化 C aC ri mi aC F* M*C 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 3. 3. 刚体作平面运动刚体作平面运动 主矩 主矢 向质心简化向质心简化 1. 1. 刚体作平动刚体作平动向质心简化向质心简化 主矢 主矩 2. 2. 刚体做定轴转动刚体做定轴转动 主矢 对转轴的主矩 向固定轴简化向固定轴简化 综上所述： 5-2 惯性力系的简化 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 5-3 动静法应用举例 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例题 5-1 汽车连同货物的总质量是m ，其质心 C 离前后 轮的水平距离分别是 b 和 c ，离地面的高度是 h 。当汽车以 加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。 轮子的质量不计。 AB C cb h 5-3 动静法应用举例 例题 5-1 第五章第五章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 取汽车连同货物为研究对象 。汽车实际受到的外力有：重力
