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1、一. 机械振动：物体在一定位置（平衡位置 ）附近作重复往返运动称为机械振动。 物体受到回复力作用以及物体具有惯性。 第二节 简谐振动 一、简谐振动的定义式(或:简谐振动的运动学方程) 二.机械振动的原因： 第一节 振动的一般概念 振动 X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体 所受合外力为零的位置定为平衡位置。 1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的 最大位移的绝对值。 A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所 需时间。 二.描述简谐振动的三个重要物理量 2. 振动的周期 频率 圆频率 B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完 成全振动的次数。 C. 圆频率 （弧度/秒）。 A. 位相 ：它是反
2、映质点在t时刻 振动状态的物理量。（相同的振动状态对 应相位差为 的整数倍。） B. 初位相 ： t0 时刻的位相。 三、简谐振动的速度和加速度 3. 位相和初位相 1. 速度 速度的位相比位移超前 2. 加速度 简谐振动的运动学特征 加速度的位相比位移超前或落后 (或与 位移反相) 0 x, v, a t 四、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法 ） # 逆时针旋转为正角。 # 顺时针旋转为负角。 旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为 圆频率仍为 结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动 。 角频率,振动的周期分别为： 当 时 1.单摆 二、微振动的简谐近似 摆球对C点的力矩 复摆：绕不过质心的
3、水平固定轴转动的刚体 结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动 。 当 时 三. 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求 A和 （最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、 v0画出旋转矢量的位置而求出初位相） 第四节、简谐振动的能量 动能: 势能 : 简谐振动能量: Ep o t E Ek E=(1/2)kA2 x t o 讨论 1：由初始条件确定常数A 2、 若弹簧振子竖直悬挂或在光滑斜面上振 动，其振动频率仍保持不变；只要选择合适 的重力势能零点，其各能量表达式也保持不 变，此时势能应理解为重力势能与弹性势能 的和。 第五节 同方向的简谐振动的合成 一、 同方向、同频率的简谐振动的合成 结
4、论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是 同频率的简谐振动。 X 旋转矢量法方法 重要结论 ： 振动减弱 X 振动加强 X 若两旋转矢量重合,则: = 1= 2 若两旋转矢量反向,则 与 振幅大的分振动的初相相同 二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成 利用三角函数关系式 ： 合成振动表达式： x x t x2 t x1 t 两个同方向简谐 振动在合成时，由于 频率的微小差别而造 成的合振动时而加强 ，时而减弱的现象叫 拍。 X 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频 拍现象应用:给钢琴调音;结合多普勒效应 测车速 例1：两个谐振动分别为 ， 、当 时，合 振幅最大；当 时，合振幅最小，且 写出
5、它们的合振动方程。 思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度 与时间的曲线如图所示。若质点的振动规 律用余弦函数描述，求其初位相。 o V(m/s) t(s) vm x(cm) 思考题2: 图中（1）和（2）表示两个同方 向，同频率的简谐振动的振动曲线。则（1 ）和（2）合成振动的振幅为，初位相 为 ，周期为；试在图中画出合成 振动的振动曲线。 t(s) -0.5 -1 2 1 0 (1) (2) 5 波 动 学 基 础 2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。 第一节 机械波的形成和传播 一、机械波的产生 1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的 传播过程。 &波动（或行波)是振动状态的传播， 是
6、能量的传播，而不是质点的传播。 &后面质点的振动规律与前面质点的振 动规律相同，只是位相上有一个落后。 二、纵波和横波： 横波：振动方向与传播方向垂直,如电磁波 纵波:振动方向与传播方向相同，如声波 三、波线、波面、波前 波（射）线：表示波的传播方向的射线称 之为波（射）线。 波面（或相面）:某时刻介质内振动相位 相同的点组成的面称为波面。 波前(波振面）：某时刻处在最前面的波面 。 波面 波线 在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直 &球面波 波振面 &平面波 四.描述波动的几个物理量 (波长、波的传播速度、波的周期和频率) 波线 波面波振面 1234560 1、波长 ：同一波线上振动状态完全
7、相同的两个 相邻点之间的距离（对应的位相差为 ） 2、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的 时间（等于振动的周期，由波源决定） 3、波速 ：在波动过程中，某一振动状 态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也 称之相速。 &机械波的传播速度完全取决于介质。（决 于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹 性模量和介质的密度。） 第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 一、平面简谐波的波动方程的推导 1、右行波的波动方程 （1）已知O点振动表达式： （O点不一定是波源 ） &将 t 理解为已知点振动了的时间，求 出任一点实际振动的时间，以此代替已知 点振动方程中的 t，就可得到任一点的振 动
8、方程，即为波动方程。 &照抄已知点的振动方程，再将任一点 振动超前于或落后于已知点振动的位相 补上，就得任一点的振动方程，即为波 动方程。（超前就“ ” ，落后就 “ ” 。） 或 （2）如图，已知 P 点的振动方程 ： 如图，已知 P 点的振动方程 ： 2、左行波的波动方程： 平面简谐波波动方程的一般形式 或 x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。 思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度 u=20m/s自左向右传播。已知波线上某 点A的振动表式 ， D点在A点右方9米处。 若取x轴方向向左，并以A为坐标原点， 试写出波动方程并写出D 点的振动方程 。 结论：
9、对于给定的波动，其波动方程与坐 标原点及坐标轴方向的选取有关；但对于给 定点的振动方程，却与坐标原点及坐标轴方 向的选取无关 思考：若以D为坐标原点，再写以上方程 。 1、t 一定时的波形图 t时刻 t+ 时刻 二、波动方程的物理意义 讨论各质点在给定时刻的振动方向 波线上两质点之间的位相差 x1x2 2、x一定时的振动曲线 t 讨论质点在某一时刻的振动方向 3、质点的振动速度 三.平面波波动方程的微分形式 例1：沿X轴正方向传播的平面简谐波、在 t=0 时 刻的波形如图，问：（1）原点O的初相及P点的 初相各为多大？（2）已知A及 ，写出波动方程 。 0 p 解题思路： 2、若上图为t=2s
10、时刻的波形图，重新讨论上面各问题。 思考:1、从矢量图上直接求O、P两点之间的位相差。 例2：一平面简谐波某时刻的波形图如下 ，则OP之间的距离为多少厘米。 0p 2 20cm 解题思路 ： 解题思路: 思考题 一圆频率为的简谐振动沿x轴的正方向 传播,t=0时刻的波形如图所示,则画出t=0时刻, x 轴上各点的振动速度v和x坐标的关系图. 0 12 t=0 A 结论:在t时刻,V与X关系曲线与t+T/4时 刻的波形图相似 (思考) 设有一行波： 质元的速度: 质量为 的媒质元其动能为： 第三节 波 的 能 量 一、媒质中单位体积中的能量（波的能量密度） 动能密度: 1. 动能密度 2. 势能
11、密度 杨氏弹性模量E S为棒之横截面积 张应力 张应变 倔强系数 弹性势能： O x dx S X X y y+dy O 弹性势能密度： 弹性势能密度是与媒质元的相对形变 量的平方成正比，也就是与波形图上的斜 率平方成正比。 其势能密度为： 任意时刻，体元中动能与势能相等，即 动能与势能同时达到最大或最小。 其能量密度为： 平均能量密度为： 能量极 大 能量极大 能量极小 能量极小 二、波的能流和能流密度 能流 电流 能量 电量 能流密度 电流 密度 能流 单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流。 #S也可以不和波速垂直，此时式中的S应改 为S垂直。 #上式也适用于球面波 #平均
12、能流 2、能流密度或波的强度 I 通过垂直于波速 方向的单位面积的平均能流 波强与振幅的平方成正比 解题思路 ： 例：如图，某一点波源发射功率为40瓦，求该球 面波上通过的平均能流及能流密度。（介质无吸 收） r 波源 （1）在均匀不吸收能量的媒质中传 播的平面波在行进方向上振幅不变。 平面波和球面波的振幅 证明：因为 所以在单位时间内通过 和 面的能量应该相等 设距波源单位距离处质点的振幅为A，则可以 证明:距波源 r处质点的振幅为 (思考) （2）球面波振幅与它离波源的距离成反比 第四节 惠更斯原理 波的叠加和干涉 一、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是 发射子波的新波源，其后任意时刻，这
13、些子 波的包络面就是新的波阵面。(1690年) 二、用惠更斯原理解释波的传播行为 S2 S1 二、波的叠加原理（独立性原理）： 若有几列波同时在介质中传播，则它们各 自将以原有的振幅、频率和波长独立传播； 在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单 独传播时在该处引起的位移的矢量和。 传播到 P 点引起的振动为 ： 三、波的干涉 1、相干条 件：两波源 应满足：振 动方向相同 ，频率相同 ，位相差恒 定。 2、极值条件 &当两相干波源为同相波源（即 )时 相长干涉 相消干涉 称 为波程差 &若 S1 S2 r1 r2 第五节 驻 波 一、 驻波的产生：振幅相同的两列 相干波，在同一直线上沿相反方向
14、 传播，叠加后所形成的波叫驻波。 （驻波是一种特殊的干涉现象） 横驻波演示 所谓波腹位置就是干涉极大值的位置； 所谓波节位置就是干涉极小值的位置。 波腹 波节 利用三角函数关系： 求出驻波的表达式： 二、 驻 波方 程 正向: 负向: 振 幅 项 讨论讨论 1. 振幅 2.波腹和波节的位置 求出的 x 即为波腹的位置。 （2）波节 ： 求出的 x 即为波节的位置。 （1）波腹：令 令 v方法一（若已知驻波方程 ） 结论： 半个波长 。 相邻两个波腹之间的距离为 v方法二(求出X处质点两分振动的位相差） （1）波腹位置（为干涉极大值位置） 求出的X即为波腹处. （2）波节位置(为干涉极小值位置）
15、 求出的X即为波节处. 相邻两个波节之间的距离也为半个波长. y x o 应用:可用测量波腹或波节间的距离，来确定波长 结论：相邻两个波节之间的 各点是同位相的；一个波节 两侧的点是反相的。 驻波位相动画 3. 位 相 x A(X) o y x o A B C 思考题：右上图，某时刻若 已知A点的位相为/4,则求该 时刻B点和C点的位相。 例：如图，若o、 处分别有两个相干波源，其 振动方程分别为： y o x 求波腹和波节的位置 。 解题思路：在 范围内形成驻波。 驻波右行波左行波 对其中的任一点 x x 驻波的能量在相邻的波腹和波节间不断地进 行动能与势能的相互转换，而不向外传播。 三. 驻 波 的 能量 AB C 波 节 波 腹 位移最大时 平衡位置时 动能主要集中在波腹附近。 势能主要集中在波节附近。 &当波从波疏媒质垂直入 射到波密媒
