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1、大学物理例题讲解大学物理例题讲解 南昌大学 陈国云 2014年4月5日 第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 例题5-1 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 解:(1)建立坐标系，分割质量元 h J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关 (2)建立坐标系，分割质量元 （3）建立坐标系，分割质量元 例题5-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。 r R dr 解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一
2、半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得 例题5-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程 式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得 而 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a
3、 ，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的 m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小 ，这样就能角精确地测出a来。 例题5-4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆 盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 ，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr d e 解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 因m=eR2，代入得 根据定轴转动定律，
4、阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度. 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得 例题5-5 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过 其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位 置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系 数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。 求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解：这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能 C O 零点，用表示棒这时
5、的角速度,则 （1） 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则 （2） 式中为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 取 正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为 （3） 由匀减速直线运动的公式得 （4） 亦即 由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得 （5） 亦即l 6s；当取负值，则棒向右摆，其条件 为 亦即l 6s 棒的
6、质心C上升的最大高度，与第一阶段情 况相似，也可由机械能守恒定律求得： 把式（5）代入上式，所求结果为 当取正值，则棒向左摆，其条件为 (6) 例题5-6 工程上，常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一 中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯 量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B 轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？ A A C B A C B 或共同转速为 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机 械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损 失的机械能为 例题5-7 恒
7、星晚期在一定条件下，会发生超新星爆 发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星 的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子 星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有 几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它 的内核半径R0约为2107m，坍缩成半径R仅为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。 解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因 此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的 角动量J00和J应相等。因 代入J00=J中，整理后得 由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在 星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出 很强的无线
8、电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地 球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉 冲星。目前已探测到的脉冲星超过300个。 例题5-8 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋 转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷 气流量恒定，共是=2kg/s 。废气的喷射速率（相对 于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。 r dm/2 dm/2 u -u L0Lg 解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量， 所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即 在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气 体，这些气体对中心轴的角动量为dmr(u+v)，方 向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的 速率v(=r) ，所以此角动量近似地等于dmru。在 整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为 当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的 总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为 在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即 L0=L1 ，由此得 即 于是所需的时间为
