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1、第三章 惯性导航原理 主要捷联式 3.1常用坐标系 n 惯性导航中所采用的坐标系可分为惯性坐标系与非惯性坐 标系两类,惯性导航区别于其它类型的导航方案(如无线 电导航、天文导航等)的根本不同之处就在于其导航原理 是建立在牛顿力学定律又称惯性定律的基础上的 ,“惯性导航”也因此而得名。而牛顿力学定律是在惯性空 间内成立的,这就有必要首先引入惯性坐标系,作为讨论 惯导基本原理的坐标基准。对飞行器进行导航的主要目的 就是要确定其导航参数,飞行器的导航参数就是通过各个 坐标系之间的关系来确定的,这些坐标系是区别于惯性坐 标系、并根据导航的需要来选取的。将它们统称为非惯性 坐标系,如地球坐标系、地理坐标
2、系、导航坐标系、平台 坐标系及机体坐标系等。 n在惯性导航中常用的坐标系有 n1. 地心惯性坐标系 n 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运 动,地心惯性坐标系的原点选在地球的中心,它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准,在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量,因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要,但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上,而x、y轴则在地球的赤道平面内,并指 向空间的两颗恒星。 n2. 地球坐标系 n地球坐标系是固连在地球上的坐标系,它相对惯 性坐标系以地球自转角速率 旋转,地球坐标系的 原点在地球中心, 轴与 轴重合, 在赤道平面 内,x轴指
3、向格林威治经线,y轴指向东经90度方 向。 n3. 地理坐标系 n 地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器 所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处 ,x指向东,y指向北,z沿垂线方向指向天 (东北天)。 n4. 导航坐标系 n 导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统:导航坐标系与地理坐标系 重合;自由方位系统或游动自由方位系统 : 轴与 轴重合,而 与 及 与 之间 相差一个自由方位角或游动方位角 。 n5. 平台坐标系 n 平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标 系时所获得的坐标系,平台坐标系的坐标 原点位于飞
4、行器的重心处。对于平台惯导 系统,平台坐标系是通过平台台体来实现 的;对于捷联惯导系统,平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。 n6. 机体坐标系 n机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处 ,x沿机体横轴指向右,y沿机体纵轴指向前 ,z垂直于oxy,并沿飞行器的竖轴指向上。 3.2四元数理论 四元数 表示 四元数:描述刚体角运动的数学工具 (quaternions) 针对捷联惯导系统,可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足 。 四元数的表示 由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数 或者省略 1,写成 i, j, k 服从如下
5、运算公式: 四元数 组成部分 i, j, k 服从如下运算公式 称作标量部分, 称作矢量部分 四元数的另一种表示法 P 泛指矢量部分 提示:四元数与刚体转动的关系 四元数基本性质 加减法 1四元数加减法 或简单表示为 四元数基本性质 乘法 2四元数乘法 或简单表示为 关于相乘符号 关于交换律和结合律 四元数基本性质 共轭 范数 3共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数 和 互为共轭 可证明: 4四元数的范数 定义 则称为规范化四元数 四元数基本性质 逆 除法 5逆四元数 当 时 6四元数的除法 若 则 若 则 不能表示为 (含义不确切 ) 四元数表示转动 约定 一个坐标系或矢量相对参考坐标
6、系旋转, 转角为, 转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cos、cos、cos。 则表示该旋转的四元数可以写为 为特征四元数 (范数为 1 ) 四元数既表示了转轴方向,又表示了转角大小(转动四元数) 四元数表示转动 矢量旋转 如果矢量 R 相对固定坐标系旋转,旋转四元数为 q,转动后 的矢量为 R, 则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现 含义:矢量 R 相对固定坐标系产生旋转,转角和转轴由 q 决定 四元数表示转动 坐标系旋转 如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转,得到新坐标系 OXYZ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V 矢量 V 在新坐标系上 OXYZ 的投影为
7、则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系 : 式中 分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OXYZ 上的映像 四元数 映象图解 四元数表示转动 方向余弦 将该投影变换式展开,也就是把 代入上述投影变换式 进行四元数乘法运算,整理运算结果可得 四元数表示转动 方向余弦 其中方向余弦矩阵 四元数表示转动 旋转合成 多次旋转的合成 对于一个坐标系经过多次旋转后,新坐标系和原始坐标系之间 的关系等效于一个一次转动的效果, 相应地有合成转动四元数 假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数,那么有如下关系成立: 上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以
8、映象的形式给出。 如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示,则有 求方向余弦 非映象方式1 用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。 坐标系 OXYZ 相对 OXYZ 三次旋转,以欧 拉角 、的形 式给出。 第一转,绕 Z 轴转 角,瞬时转轴 n 和 k 轴重合,则转动四元 数为 第二转,绕 OX1 轴转角, 瞬时转轴 n 的方向表示式为 其转动四元数为 求方向余弦 非映象方式2 求方向余弦 非映象方式合成 由于 q1 和 q2 的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来 表示,则合成转动四元数 q 的计算采用: 求方向余弦 映象方式1 以瞬时转轴映象形式给出 转动
9、四元数的表达式并求 出合成转动四元数 第一次转时,映象形式的 q1 和非映象形式的 q1 是 一致的: 求方向余弦 映象方式2 第二转绕 OX1 轴转 角 瞬时转轴 n 是由 OX 经过 第一转转换来的 OX 轴对应单位矢量 i,所 以定义 n 的映象为 i 则 q2 的映象表示式为 求方向余弦 映象方式3 第三转,绕 OZ 轴转动 角 瞬时转轴 n 是由 OZ 经过 第一转和第二转转换来的 OZ 轴对应单位矢量 k, 所以定义 n 的映象为 k 则 q3 的映象表示式为 求方向余弦 映象合成 由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ,所以三次转动的合成转动 四元数 q 为 据此可算出对应
10、的方向余弦表 四元数补充 两种转动公式 坐标系旋转时,不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在 如下关系: 在一些资料中,四元数的转动公式也经常写成如下的形式 这个公式的意义是说,在一个超复数空间中,或者在一个固 定坐标系中,矢量 VE 按着四元数 q 所表示的方向和大小转 动了一个角度,得到一个新的矢量 VE 四元数补充 计算上的优点 四元数法能得到迅速发展,是由于飞行器控制与导航的发展,要 求更合理地描述刚体空间运动,以及便于计算机的应用。 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时,要积分矩阵微分方程式: 式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵,为动坐 标系相对定坐标系旋转角速度的反对称矩
11、阵: 包含 9 个一阶微 分方程式,计算 量比较大 四元数补充 计算上的优点 如果采用四元数法,则是要求解四元数方程式 q 为动坐标系的转动四元数, 为动坐标系相对定坐标系 的旋转角速度,也表示为四元数 按四元数乘积展开 只要解四个一阶微分 方程式组即可 3.3视加速度和比力 根据质质心运动动定理和相对对运动动学原理, 飞飞行体质质心运动动的微分方程(在惯惯性坐标标系下)为为: 式中, -飞飞行体的质质量; -推力; -空气阻力; -惯惯性空间飞间飞 行时时,导弹质导弹质 心加速度; , -由推力产产生的加速度; -由阻力引起的阻力加速度。 由上式可得出 飞飞行体质质心运动动的微分方程(在弹弹
12、体坐标标系下)为为: 或 , 式中 是动动点的相对对加速度,将(*)代入上式 得 由上式可知,测测得的 是推力加速度 和阻力加速度 的矢量和,称为视为视 加速度,在实际实际 的测试测试 中由加速度传传感器得到的值值是 在敏感轴轴上的分量,实际实际 的惯惯性坐标标系下的加速度 可通过过上式变换变换 得到,在弹弹体坐标标系上动动点的力为为 称为为比力,加速度计实际计实际 是通过过比力来测测量加速度的。 n由惯性测量组合测得的视加速度是相对惯 性空间的加速度,在以上的分析计算中, 假设了地球的曲率半径很大,自转速度为 零,在实际的导航中,飞行体是在曲率半 径不为零且具有引力场的地球表面上,因 此,需
13、要对惯性空间加速度相对地球加速 度之差,即有害加速度进行补偿。即飞行 体速度和地球自转角速度引起的哥氏加速 度,飞行体沿地球表面飞行而产生的向心 加速度。 3.4捷联惯导系统的算 法实现 捷联惯导基本算法与误差 捷联惯导系统算法概述 算法:从惯性仪表输出到导航与控制信息 捷联惯导算法的基本内容: 一、系统初始化(Initialization): 1、给定飞行器初始位置、速度等 2、数学平台的初始对准 3、惯性仪表的校准 二、惯性仪表误差补偿(Compensation) 三、姿态矩阵的计算 四、导航计算 五、导航控制信息的提取 姿态计算 欧拉角微分方程1 姿态矩阵的计算 假设数学坐标系模拟地理坐
14、标系 飞行器姿态的描述: 航向角、俯仰角、滚动角 一、欧拉微分方程 从地理坐标系到载体坐标系 的旋转顺序: 方向余弦矩阵: 姿态计算 欧拉角微分方程2 飞行器相对地理坐标系的角速度 : 姿态计算 欧拉角微分方程3 求解欧拉角速率得 注意事项:当 = 90 度时,方程出现奇点 姿态计算 矩阵方程精确解1 二、方向余弦矩阵微分方程及其解 其中 由于陀螺仪直接测得的是载体 相对惯性空间的角速度,所以 : 导航计算可以得到 有 因此 得 姿态计算 矩阵方程精确解2 的精确解(毕卡逼近): 其中 方向不变时的精确解 九个微分方程求解,计算量大 姿态计算 四元数精确解1 三、四元数微分方程式及其解 由第一
15、章,四元数微分方程式: 对 的处理类似上一节 精确解 : 其中: 姿态计算 四元数精确解2 其中: 姿态计算 姿态航向角计算1 四、姿态和航向角的计算 根据载体和地理坐标系之间的方向余弦矩阵可确定姿态、航向角 姿态、航向角 真值的判断 姿态计算 姿态航向角计算2 如利用四元数微分方程求解, 则先利用四元数求解结果计算 方向余弦矩阵的元素(1-58): 姿态实时计算 概述 姿态矩阵的实时计算 因假定“数学平台”跟踪地理坐标系,因此 所以可得相应的姿态矩阵微分方程(6-12): 或四元数微分方程: 注意事项: 1、上述两个方程中的角速度表达式不一样 2、方程第二项较小,计算时速度可以低一些 增量算法 矩阵方程精确解 一、角增量算法(Angular Increment Algorithm) 角增量:陀螺仪数字脉冲输出,每个脉冲代表一个角增量 一个采样周期内,陀螺输出脉冲数对应的角增量为 : 1、矩阵微分方程(Matrix Differential Equation)计算 根据矩阵微分方程的精确解(6-20),有: (解 的第一项) 增量算法 矩阵方程CS参数 展开合并上式,得 其中 增量算法 矩阵方程1阶 将前式简写为: