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1、 v预备知识 1.有关三角函数的知识 2.有关对数函数的知识 以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex, 叫做自然对数,在工程技术中经常被运用,常简 记为 y = ln x. 数 e 是一个无理数,它的前八位数是: e = 2.718 281 8 3.有关指数运算的知识 4.无穷小量 定义 在某个变化过程中,以0为极限的变量 称为在这个变化过程中的无穷小量,常用字母 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量. 5.极限的运算法则 X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998 X 1 0.5
2、0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998 v第一个重要极限 O x B A C D 证 解 这个结果可以作为公式使用 例 1 求 例 2 注:在运算熟练后可不必代换,直接计算: 练习1. 求下列极限: 例 3 解 例 4 解 思考题思考题 练习3:下列等式正确的是( ) 练习4:下列等式不正确的是( ) 练习练习 5. 下列极限计计算正确的是( ) 练习练习 6. 已知 当( )时时, 为为无穷穷小量. ,当 时时, 为为无穷穷小量 练习练习 7. 已知 练习练习 8. 练习练习 9. X -10 -100 -1000
3、 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828 X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827 v第二个重要极限 解 因为 所以,有 例 1 例 2 解 方法一 令 u = -x, 因为 x 0 时 u 0, 所以 方法二 掌握熟练后可不设新变量 例3 解 练习 1. 解 练习2. 解 练习3. 解 两个重要极限: v小结 练 习 题 思考题 解 因为 所以令 u = x - 3 ,当 x 时 u ,因此 两个重要极限的证明 O x R A B C 证 AOB 面积 扇形AO
4、B 面积 AOC 面积, 即 例 两个重要极限的证明 因为 所以再次 运用定理 6 即可得 重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立. 证 设圆心角 过点A作圆的切线与OB的 延长线交于点C,又作 则sin x =BD,tan x=AC, 这就证明了不等式(7). 从而有 重要极限2 证 这是重要极限2常用的另一种形式. 分析:此是一个和式的极限,显然第一项及第二项函数中分子、 分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零,因此可以 直接利用极限的运算法则求解。 极限综合练习题(一) 例3 求下列极限: 解: 当x从0的左侧趋于0时, 当x从0的右侧趋于0时, 例5 求下列极限 分析:本例
5、中均是求分式的极限问题,且在各自的极限过程中 ,分子、分母的 极限均为零,不能直接用极限商的运算法则。 求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式,把 它们约去后再求解。 寻找致零因式常用的方法为: 若是有理分式的极限,则需把分子分母、分别分解因式(一 般采用:“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法); 若是无理分式的极限,则需要把分子、分母有理化。 解:(1)把分子分母分解因式,消去致零因式,再求极限。 求解。又当x0时,ax0,bx0,于是有 分析:当x0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函 数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘 以 ,然后看是否可利用
6、第1个重要极限。 解法2: 分析:当 x0时,分式中分子分母的极限均为0,不能直接使用极 限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又 不适用。能否利用第1个重要极限呢?这就需要首先利用三角恒等 式对函数进行适当的变形。 解:因当x时,sinx的极限不存在,故不能用极限的运算法则 求解,考虑到 解 1. 求极限: 极限综合练习题(二) 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 2.求下列极限: 解:对分子进行有理化,然后消去零因子,再 利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 3. 求下列极限: 分析:此极限属于时有理分式的极限问题,且m=n,可直接利用 上述结论得出结果,也
7、可用分子、分母同除以x15来计算。 解:分子分母同除以x15,有 =2 2 + 1 = 5 解 5. 求 解 6. 求极限 解:容易算出分式分子的最高次项是 , 分式分母的最高次项是 ,所以 7. 求极限 8. 求极限 9. 设函数 问:(1)当a为何值时,f(x)在x=0右连续; (2)a ,b为何值时,f(x)在x=0处有极限存在; (3)当a ,b为何值时,f(x)在x=0处连续。 处右连续。在时,。故当,从而 ,又右连续,须有在要使 解: 0)(11 sin 0 lim )0()0()( 0 lim0)() 1 ( = = = + + xxfaaa x x x affxf x xxf 根据f(x) x=0处极限存在的充分必要条件: 即a=1,故当a=b=1时,f(x)在x=0处连续 解:利用第二重要极限计算,即 10. 求下列极限