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1、 v预备知识 1.有关三角函数的知识 2.有关对数函数的知识 以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简 记为 y = ln x. 数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8 3.有关指数运算的知识 4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量 称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量. 5.极限的运算法则 X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998 X 1 0.5
2、0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998 v第一个重要极限 O x B A C D 证 解 这个结果可以作为公式使用 例 1 求 例 2 注：在运算熟练后可不必代换，直接计算： 练习1. 求下列极限: 例 3 解 例 4 解 思考题思考题 练习3：下列等式正确的是（ ） 练习4：下列等式不正确的是（ ） 练习练习 5. 下列极限计计算正确的是（ ） 练习练习 6. 已知 当（ ）时时， 为为无穷穷小量. ，当 时时， 为为无穷穷小量 练习练习 7. 已知 练习练习 8. 练习练习 9. X -10 -100 -1000
3、 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828 X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827 v第二个重要极限 解 因为 所以，有 例 1 例 2 解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0， 所以 方法二 掌握熟练后可不设新变量 例3 解 练习 1. 解 练习2. 解 练习3. 解 两个重要极限: v小结 练 习 题 思考题 解 因为 所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，因此 两个重要极限的证明 O x R A B C 证 AOB 面积 扇形AO
4、B 面积 AOC 面积, 即 例 两个重要极限的证明 因为 所以再次 运用定理 6 即可得 重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立. 证 设圆心角 过点A作圆的切线与OB的 延长线交于点C，又作 则sin x =BD，tan x=AC， 这就证明了不等式(7). 从而有 重要极限2 证 这是重要极限2常用的另一种形式. 分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、 分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以 直接利用极限的运算法则求解。 极限综合练习题(一) 例3 求下列极限： 解： 当x从0的左侧趋于0时， 当x从0的右侧趋于0时, 例5 求下列极限 分析：本例
5、中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中 ，分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。 求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把 它们约去后再求解。 寻找致零因式常用的方法为： 若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一 般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。 解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。 求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有 分析：当x0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函 数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘 以 ，然后看是否可利用
6、第1个重要极限。 解法2： 分析：当 x0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极 限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又 不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等 式对函数进行适当的变形。 解：因当x时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则 求解，考虑到 解 1. 求极限: 极限综合练习题(二) 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 2.求下列极限： 解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再 利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 3. 求下列极限： 分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用 上述结论得出结果，也
7、可用分子、分母同除以x15来计算。 解：分子分母同除以x15，有 =2 2 + 1 = 5 解 5. 求 解 6. 求极限 解：容易算出分式分子的最高次项是 ， 分式分母的最高次项是 ，所以 7. 求极限 8. 求极限 9. 设函数 问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续； （2）a ,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在； （3）当a ,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 处右连续。在时，。故当，从而 ，又右连续，须有在要使 解： 0)(11 sin 0 lim )0()0()( 0 lim0)() 1 ( = = = + + xxfaaa x x x affxf x xxf 根据f(x) x=0处极限存在的充分必要条件： 即a=1,故当a=b=1时，f(x)在x=0处连续 解:利用第二重要极限计算，即 10. 求下列极限
