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1、二、随机变量的概念 一、随机变量的引入 三、小结 第一节 随机变量 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律 性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用 数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的 推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当 把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念 1. 为什么引入随机变量? 一、随机变量的引入 2. 随机变量的引入 例1 在第一章4例1中，将一枚硬币抛掷三次，观察正反面的情况 ，样本空间是 S=e=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT. 以X表示三次投掷得到正面的总数，那么对于样本空间中的每一
2、 个样本点e，X都有一个数与之对应，即X是S上的一个实值函数， 值域为0, 1, 2, 3 X是一个实值函 数，有可能好几 个e的值对应同 一个X的值 单值函数 事件(S的子集)，可以用X来表示了比如X1,而 此事件的概率就写成PX1省略了一层小括号 2. 随机变量的引入 例 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球在袋中 任取一只球，放回，再任取一只球，记录两次的号码 试验的样本空间为 S=e=(i,j)|i,j=1,2,3. i,j分别为第,次取到的球的号 码以X记两球号码之和那么，对于每一个试验结果 e=(i,j) S,X都有一个指定的值i+j与之对应X是一个函 数,定义域为S. 函数X
3、可以写成 X=X(e)=X(i,j)=i+j, i,j=1,2,3. 这就相当于一个函数:f=f(z)=f(x,y)=x+y,二元函数. 其实这里的X,X(e)即是随机变量 2？X=2？PX=2=? 2. 随机变量的引入 例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, 观察摸出球的颜色. S=红色、白色 非数量 将 S 数量化 可采用下列方法 红色 白色 此R表示实数 相当于函数 f(x)， 只是写法不同 即有 X (红色)=1 , X (白色)=0. 这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了. PX=1=PX=0=1/2. 例 抛掷骰子,观察出现的点数. S=1，2，3，4，5，6 样本点本身就
4、是数量 恒等变换，相当于函数f(x)=x 且有 则有 二、随机变量的概念 1.定义 如果一个试验的结果本身就是一个数，那么令X=X(e)=e即可 ，X就是一个随机变量例如： 用记某车间一天的缺勤人数， 以记某地区第一季度的降雨量， 以记某工厂一天的耗电量， 以记某医院某一天的挂号人数等等等等等 一般的，随机变量用大写字母表示,X,Y,Z,W,U,., 小写字母x,y,z,w,a,b,c表示实数 如何用随机变量表示事件 前面例1: S=e=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT. 事件HHT, HTH, THH ，表示出现两次正面，所以可以用X=2表示 P(
5、A)=PX=2=3/8. 一般，若是一个实数集合，将X在L上取值写成X L. 它表示事件B=e|X(e) L，即B是由S中使得X(e) L的所有样本点e所 组成的事件，此时有 PX L=P(B)=Pe|X(e) L. 随机变量随着试验的结果不同而取相应的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律. (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的 差别 ,普通函数是定义在实数轴上的(把数变成数), 而随机变量是定义在样本空间S上的 (样本空间中的元素 不一定是实数). 2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同
6、 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象. (3)随机变量与随机事件的关系 实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有 即 X (e) 是一个随机变量. 实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点: 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 可得随机变量 X(e), 实例5 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则 是一个随机变量. 实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了3
7、0次, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为 : 且 X(e) 的所有可能取值为: 实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为: 实例8 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: 3.随机变量的分类 离散型 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 随机变量 连续型 实例1 1,
8、 2, 3, 4, 5, 6. 非离散型 其它 实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”, 则 X 的所有可能取值为: 实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量 误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) . 实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 则 X 的取值范围为 三、小结 2. 随机变量的分类: 离散型、连续型. 1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就 需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机 事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概念 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊 的函数
