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1、 本章内容 (1) 利用MATLAB实现串联频率校正的三种方法； (2) 利用MATLAB实现系统状态反馈的两种方法； (3) 利用MATLAB实现系统状态观测器的两种方法； (4) 利用MATLAB实现带状态观测器的状态反馈系统； (5) 利用MATLAB实现系统的解耦； (6) 利用MATLAB实现状态反馈的线性二次型最优控制器 的设计； (7) 利用MATLAB实现输出反馈的线性二次型的最优控制 。 第8章 控制系统的计算机辅助设计 1 并联校正 局部闭环传函 优点：高灵敏度 高稳定度 2 20 -60 -40 -20 60 40 0.001 0.1 1 0.01 -80 -40 -20
2、 -40 820 3 4 控制系统的设计，就是在系统中引入适 当的环节，用以对原有系统的某些性能进 行校正，使之达到理想的效果，故又称为 系统的校正，下面介绍几种常用的系统校 正方法的计算机辅助设计实现。 5 8.1 频率法的串联校正方法 应用频率法对系统进行校正，其目的是改 变系统的频率特性形状，使校正后的系统频率 特性具有合适的低频、中频和高频特性以及足 够的稳定裕量，从而满足所要求的性能指标。 控制系统中常用的串联校正装置是带有单 零点与单极点的滤波器，若其零点比极点更靠 近原点，则称之为超前校正，否则称之为滞后 校正。 6 8.1.1 基于频率响应法的串联超前校正 1.超前校正装置的特
3、性 设超前校正装置的传递函数为 其频率特性为 7 (1) 极坐标图 超前校正装置的极坐标图如 图8-2所示。 当0变化时，Gc(j) 的相位角 0，Gc(j)的轨迹为 一半圆，由图可得超前校正的最 大超前相位角m为 (8-3) 令 可得对应于最大相位角m时 的频率m为 8 (2) 对数坐标图 超前校正装置的对数坐标图如 图8-3所示。 当 由此可见，超前校正装置是一 个高通滤波器(高频通过，低频 被衰减),它主要能使系统的瞬态 响应得到显著改善，而稳态精度 的提高则较小。越大，微分作 用越强，从而超调量和过渡过程 时间等也越小。 9 2.串联超前校正方法 超前校正装置的主要作用是通过其相位 超
4、前效应来改变频率响应曲线的形状，产生 足够大的相位超前角,以补偿原来系统中元件 造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校 正装置的最大超前相位角出现在校正后系统 的开环剪切频率(幅频特性的交接频率)c处 。 10 利用频率法设计超前校正装置的步骤: (1)根据性能指标对稳态误差系数的要求,确定开环增益k； (2)利用确定的开环增益k，画出未校正系统的Bode图， 并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg； (3)确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位 角，即r -r0+.式中 r为要求的相位裕量，是考虑 到系统增加串联超前校正装置后系统的剪切频率要向右移 而附加的相位角，一般取=515； (4
5、)令超前校正装置的最大超前相位角=，则由下式 可求出校正装置的参数； 11 (5)若将校正装置的最大超前相位角处的频率作为 校正后系统的剪切频率，则有 即 或 由此可见，未校正系统的对数幅频特性幅值等于 -20lg（-10lg ）时的频率即为c； 12 (6) 根据=c，利用下式求参数T (7) 画出校正后系统的Bode图，检验性能指 标是否已全部达到要求，若不满足要求，可 增大值，从第三步起重新计算。 13 例8-1 设有一单位反馈系统，其开环传递函数为 要求系统的稳态速度误差系数kv=20(1/s),相位裕量 r50度,幅值裕量kg10dB,试确定串联校正装置 解 根据 可求出k =40，
6、即 根据串联超前校正的设计步骤，可编写以下m文件。 ex8_1.m 14 执行后可得如下结果及图8-4所示曲线 num/den = 0.22541 s + 1 - 0.053537 s + 1 num/den = 9.0165 s + 40 - 0.053537 s3 + 1.1071 s2 + 2 s 校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=17.9642 校正后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=50.7196 15 图8-4 超前校正装置及校正前后系统的伯德图 16 8.1.2 基于频率响应法的串联滞后校正 1.滞后校正装置的特性 设滞后校正装置的传递 函数为 其频率特性为 17 （1
7、）极坐标图 滞后校正装置的极坐标图 如图8-6所示。由图可知，当 =0变化时，Gc(j)的 相位角0，Gc(j)的根轨 迹为一半圆。 同理可求得最大滞后相 位角和对应的频率分 别为 18 （2）对数坐标图 滞后校正装置的对数坐标图如图 8-7所示 由此可见，滞后校正装置是一个低 通滤波器（低频通过，高频被衰 减），且越大，高频衰减越厉 害，抗高频干扰性能越好，但使响 应速度变慢，故滞后校正能使稳态 得到显著提高，但瞬态响应时间却 随之而增加，越大，积分作用越 强，稳态误差越小。 19 2.串联滞后校正方法 滞后校正装置的主要作用是在高频段造成幅值衰减， 降低系统的剪切频率，以便能使系统获得充分
8、的相位裕量 ，但应同时保证系统在新的剪切频率附近的相频特性曲线 变化不大。 利用频率法设计滞后校正装置的步骤: （1）根据性能指标对稳态误差系数的要求，确定开环增 益k； （2）利用已确定的开环增益k，画出未校正系统的Bode 图，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg； 20 （3）如未校正系统的相位和幅值裕量不满足要求，寻 找一新的剪切频率c，在c处开环传递函数的相位角应 满足下式 Go(jc)= -180+ r + 式中 r为要求的相角裕量，是为补偿滞后校正装置的 相位滞后而附加的相位角，一般取=512； (4) 为使滞后校正装置对系统的相位滞后影响较小（一 般限制在512），m应远离c，一
9、般取滞后校正装置 的第一个交接频率：1=1/T=(1/51/10)c（即mc ），此时有|Gc(jc)|=-20lg。1取得愈小，对系统的 相位裕量影响愈小，但太小则校正装置的时间常数T将 很大，这也是不允许的； 21 (5)确定使校正后系统的幅值曲线在新的剪切频 率c处下降到0dB所需的衰减量20lg|Go(jc)| ，并根据 20lg |Go(jc)Gc(jc)|20lg |Go(jc)|-20lg=0 即 =|Go(jc)| 求出校正装置的参数； (6) 画出校正后系统的Bode图，检验性能指标 是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大 值，从第三步起重新计算。 22 例8-2 设有一单
10、位负反馈系统的开环传递函数为 要求系统的稳态速度误差系数kv=5(1/s)，相位裕量 r400，幅值裕量kg10dB，试确定串联校正装置。 解 根据 可求出k=5，即 23 根据串联滞后校正的设计步骤，可编写以下m文件。 ex8_2.m 24 执行后可得如下结果及图8-8所示曲线。 num/den = 8.3842s + 1 - 59.7135s + 1 num/den = 41.9208s+5 - 14.9284s4+74.8918s3+60.9635s2+s 校正前：幅值裕量= -3.8573e-015 dB，相位裕量 =7.3342e-006 校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕
11、量=40.6552 25 图8-8 滞后校正装置及校正前后系统的伯德图 26 8.1.3 基于频率响应法的串联滞后-超前校正 1.滞后-超前校正装置的特性 设滞后-超前校正装置的传递函数为 上式等号右边的第一项产生超前网络的作 用，而第二项产生滞后网络的作用。 27 (1) 极坐标图 滞后-超前校正装置的极 坐标图如图8-9所示。 由图可知，当角频率 在00之间变化时, 滞后- 超前校正装置起着相位滞后 校正的作用；当在0 之间变化时,它起着超前校正 的作用，对应相位角为零的 频率0为 28 （2）对数坐标图 滞后-超前校正 装置的对数坐标 图如图8-10所示 。从图可清楚看 出，当00时 滞
12、后-超前校正装 置起着相位滞后 校正的作用；当 0A=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1; b=1;1;1; rc=rank(ctrb(A,b); p=-1,-2,-3; K=acker(A,b,p) 结果显示 K= -1 2 4 42 对于多变量系统的极点配置，MATLAB 控制系统工具箱中也给出了函数place( )， 其调用格式为 K=place(A,B,P) 例8-5 已知系统的状态方程为 求使状态反馈系统的闭环极点为-2,-3, (-1j3)/2的状态反馈阵K。 43 解 MATLAB程序为 ex8_5.m 执行后得 K= 32.5923 65.6844 58.8332 46.
13、6557 55.4594 111.8348 103.6800 81.0239 44 2.部分极点配置 在一些特定的应用中，有时没有必要去 对所有的极点进行重新配置，而只需对其 中若干个极点进行配置，使得其他极点保 持原来的值，例如若系统开环模型是不稳 定的，则可以将那些不稳定的极点配置成 稳定的值，而不去改变那些原本稳定的极 点。作这样配置的前提条件是原系统没有 重极点，这就能保证由系统特征向量构成 的矩阵是非奇异的。 45 假设xi为对应于i的特征向量，即A xi =i xi，这样可 以对各个特征值构造特征向量矩阵X=x1,x2,xn，由前 面的假设可知X矩阵为非奇异的，故可以得出其逆阵T=
14、X-1 ，且令T的第i个行向量为Ti，且想把i配置到i的位置， 则可以定义变量ri=（i-i）/bi，其中bi为向量Tb的第i个 分量，这时配置全部的极点，则可以得出状态反馈阵 特别地，若不想对哪个极点进行重新配置，则可以将 对应的项从上面的求和式子中删除就可以得出相应的状态 反馈阵，它能按指定的方式进行极点配置。 46 例8-6对于例8-4所示系统，实际上只有一 个不稳定的极点1,若仅将此极点配置到 -5，试采用部分极点配置方法对其进行。 解 MATLAB程序为 ex8_6.m 执行后得 K= 1.5000 -1.5000 -6.0000 47 8.2.2 状态观测器 1.全维状态观测器的设计 极点配置是基于状态反馈，因此状态x必须可 量测，当状态不能量测时，则应设计状态观测 器来估计状态。 对于系统 若系统完全能观测，则可构造如图8-12所示的状 态观测器。 48 49 由上图可得观测器的状态方程为 即 其特征多项式为 f（s）=|sI-(A-LC)| 由于工程上要求能比较快速的逼近x，只要 调整反馈阵L，观测器的极点就可以任意配置 达到要求的性能，所以，观测器的
