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1、 工程力学（上） 直播课堂6 姚志刚 第六章静定结构的内力计算 一、本章主要知识点 1截面内力及符号 2内力图 3荷载和剪力、弯矩的对应图形关系 4叠加法作弯矩图、剪力图 5分段叠加法作弯矩图 6静定梁作内力图 7刚架作内力图 8三铰拱的计算 9桁架的计算 二、本篇讲授的内容 （一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间 所产生的相互作用力称为物体的内力。 对内力的正、负号作如下规定： 轴力符号：当截面上的轴力使分离 体受拉时为正；反之为负。 剪力符号：当截面上的剪力使分离体 作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上 部受压、下部受拉时为正，反之为负。
2、 当所有外力（包括已知荷点，通过 平衡方程求出的所有支座约束反力）已 知时，通过三个独立的平衡方程可求解 三个内力。截面法是结构力学计算最基 本的方法。 + 教材例63（P73） 一外伸梁如图所示。 。求截面11 及截面22的剪力和弯矩。 222 P q A B 1 21 解： 1求梁的支座反力。 由整体平衡可求： 2求11截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内 力。如截面11，取左段为分离体，如 图所示。 YA Q1 P M1 2m1m 由 由 由 求截面11内力也可取左段为分离体， 其结果见教材。 3求22截面上的内力。（见教材） 4 Q2 M2 1 l（二）内力图 l 内力图为
3、表示内力随横截面的位置变 化的函数的图形。 l 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置 选择用X表示，则梁的各个横截面上的内 力可以表示为X的函数，函数图形即内力 图。 l教材例67（P76） l 简支梁AB受一集度为q的均布荷载作 用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 l 分析：取左边X长的分离体，X处截 面的内力按正方向假设，用平衡方程求 解。 q L M Q + + - qL2/8 qL/2 qL/2 qL/2 qL/2 l 解： l （1）求梁的支座反力 l 由整体平衡可求： l （2）取距A端X处的C截面，标出 。解得： l l l C Q(x) M(x) x A l M图为二次抛物线，确定X0
4、，L/2 及L处M值可确定M的函数图形。 l Q图为直线形，确定X0，L处Q值即 可确定Q图。 M Q + + - qL2/8 qL/2 qL/2 l 根据内力图的特征，除均布荷载q作 用下的M点为二次抛物线外，其余情况 均为直线段。因此，可以不需列出函数 方程，直接确定直线段内力图的控制点 值，即荷点作用不连续点的截面内力连 接直线即可。 l 均布荷点作用段内M图再确定一中间 值即可画出二次抛物线。按建筑力学的 习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一 侧。 l 画出M图。弯矩最大值在梁的中点， 为 ql2/8 ； l 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2 。 l（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形
5、关 系 l 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水 平直线。 l q0： 剪力图为一水平直线，弯矩图 为一斜直线。 几种常见简支梁M、Q图的记忆 P L/2L/2 M Q + + - PL/4 P/2 P/2 q L M Q + + - qL2/8 qL/2 qL/2 l q常数:剪力图为一斜直线，弯矩图 为一抛物线。 l 集中力：剪力图为一水平直线，P作 用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一 折线，P作用处有转折。 几种常见简支梁M、Q图的记忆 P a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + + - m L/2L/2 M Q + - + M/2 M/2 m/L l 集中力偶：剪力图为一
6、水平直线，力 偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力 偶作用处有突变，突变值等于集中力偶 。 l教材例610（P81反） l 外伸梁如图所示，已知 ，试画出该梁的内力图。 222 P q A B 1 21C D l 分析：例中，整体平衡可求解 ，则A、B、C、D为外力不连续点， 作为控制截面。 l 在集中力P，或支座反力处剪力有突 变，所以控制截面截取应B左、B右、C 左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端 的剪力。 l Q图由控制点A、B左、B右、C左、C 右的值之间连直线得到。 l 解： l （1）求梁的支座反力 l l （2）画弯矩图： l 求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离 体。 l l
7、杆上侧受拉。 l 取CD杆的分离体： l （铰支端） l l 杆下侧受拉。 l 确定A、B、C、D四点M值： l BC，CD间无均布荷载q，直接联直线； l AB间有均布荷载q,确定中点值为 2.5KN/m,可由三点确定抛物线。 （2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图: l M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由 l 确定，作抛物线。M图 lBD段的端点值即MB、MD的中间值由 确定，用直线连接。 l如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线 上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能 对齐。 l轴力为零不考虑。 l杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端 作用弯矩受力情况完全相同，即对应。 所以
8、任意分段均可同叠加法作M图。 M图 10kNm 10kNm A B C D l （3）画剪力图：取控制截面如图。 l 计算剪力：取分离体如图。 l AB：QAB=0（自由端） l l CD： l l BC： l QBC l l QCB5-P=-10 l 剪力图如图所示。 l 在已荷点和所有反应力的情况下，可以 取分段分离体求剪力控制截面值，但如 果M图已知，不求约束反力也可确定分 段杆端的剪力控制截面值。 l l l 10kN 10kN 5kN - + + A BCD 几种常见简支梁M、Q图的记忆 P L/2L/2 M Q + + - PL/4 P/2 P/2 q L M Q + + - qL
9、2/8 qL/2 qL/2 几种常见简支梁M、Q图的记忆 P a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + + - m L/2L/2 M Q + - + M/2 M/2 m/L （四）叠加法作弯矩图与剪力图 当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和 内力可以这样计 算：先分别计 算出每项 荷载单 独作用时的反力和内力，然后把 这些计算结果代数相加，即得到几项荷 载共同作用时的反力和内力。 P q L + P+qL M Q + + P q P qL PL 1/2 qL2 PL+1/2qL2 上图悬 臂梁上作用有均布荷载和集 中力。 梁的反力和内力都是由两部分组成 。各式中第一项与集中力P有关
10、，是由集 中力P单独作用在梁上所引起的反力和内 力；各式中第二项与均布荷载q有关，是 由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反 力和内力。两种情况的叠加，即为二项 荷载共同作用的结果。这种方法即为叠 加法。 l 剪力图： l 集中力P单独作用时为 一水平直线，均 布荷载q单独作用时为 一斜线；两种情 况叠加后即为共同作用的结果，如上图 。 l 弯矩图： l 集中力P单独作用时为 一斜线，均布荷 载q单独作用时为 抛物线；两种情况叠 加后即为共同作用的结果，如上图。 l 分段叠加法作弯矩图 l 直杆弯矩图分段叠加，简化绘图 工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的 绘制。 l教材例610（P81反） l
11、外伸梁如图所示，已知 ，试用叠加法画出该梁的M图。 222 P q A B 1 21C D M图 10kNm 10kNm 10kN 10kN 5kN - + + 几个标准弯矩图 l 简支梁作用有均布荷载q l 简支梁作用有中点的P l 悬臂梁作用有均布荷载q l 悬臂梁作用有端点的P l 简支梁作用有非中点的P l 简支梁作用有中点的m 简支梁作用有均布荷载q P/2 q L M Q + + - qL2/8 qL/2 qL/2 （1）简支梁作用有均布荷载q 简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为 一抛 物线，其中点弯矩为。 （2）简支梁作用有中点的P 简支梁作用有中点的P的弯矩图为 一折 线，在集中
12、力P作处产 生折点，其值为 。 P L/2L/2 M Q + + - PL/4 P/2 简支梁作用有中点的P 简支梁作用有中点的m m L/2L/2 M Q + - + M/2 M/2 m/L 简支梁作用有非中点的P P a b L Pab/4 M Q Pb/L Pa/L + + - M Q + P P PL + q qL 1/2 qL2 l悬臂梁作用有均布荷载q l悬臂梁作用有端点的P l（5）悬臂梁作用有均布荷载q 悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为 一抛 物线，其值端点为零、固定端为。 l（6）悬臂梁作用有端点的P 悬臂梁作用有端点的P的弯矩图为 一斜线 ，其值端点为零、固定端为PL。 （
13、五）分段叠加法作弯矩图 l简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用 有 弯矩，用叠加法作弯矩图。 MA MA MB MB q q L L + MA MB l 原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷 载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载 分别作用的两种情况，如图所示。 + MA MA MB MB q q L L + MA MB 中点M= MA MB 即： + l 分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠 加上简支梁上对应 荷载（均布荷载q或 中点集中力P）的标准弯矩图； l 叠加：是指弯矩图纵 坐标的代数和， 而不是弯矩图的简单 拼合。 l分段叠加法作弯矩图的方法如下： l分段叠加法作弯矩图的方法： l（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作 用） l 控制截面一般取外力不连续 点（如 ：均布荷载q的端点、P作用点和集中力 偶M作图点的左、右）。 l （2）分段画弯矩图 l 控制截面内无荷载连直线； l 控制截面内有荷载（q或中点P）连 虚线，再叠加相应的弯矩图。 l剪力图可以由弯矩图取得： l 任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知， 如图所示。 l 则： ， l ， l或由 l ，分别为 荷载对 杆端
