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1、 函数关系函数关系: :确定性关系确定性关系, ,如圆的面积与半如圆的面积与半 径径 变量之间的关系变量之间的关系 相关关系相关关系: :非确定性关系非确定性关系, ,如商品的销售如商品的销售 量与价格量与价格( (不能由一个变量的不能由一个变量的 数值准确的求出另一个变量数值准确的求出另一个变量 的数值的数值) ) 8 一元线性回归分析 回归分析的相关概念 （1）回归分析:由一个（或一组）普通变量来估计、预测某 一个随机变量的观测值所进行的统计分析叫做回归分析.所 求得的公式称为回归方程. （2）线性回归分析:回归分析的模型是线性的，则称为线性 回归分析.即用一组非随机变量的线性关系式（一次
2、式）来 估计、预测某一个随机变量的观测值. （3）一元回归分析:研究一个随机变量与一个普通变量的相 关关系的回归分析叫一元回归分析. （4）一元线性回归分析:用一个普通变量的线性关系式（一 次式）来估计、预测一个随机变量的观测值的回归分析叫 一元线性回归分析. 我们以后只讨论一元线性回归分析. 设随机变量y与普通变量x之间存在着某种相关关 系.通过试验,可得到x,y的若干对实测数据,将这些 数据在坐标系中描绘出来,所得到的图称为散点 图. 一、散点图与回归直线 例1 随机抽取某地区10个家庭的年收入与年储蓄(千 元)资料如下表所示: 试建立x与y之间的关系式. 年收入x121821149112
3、5281716 年储蓄y3.2 6.1 103.6 1.1 1.3 141555.9 10 8 l 散点图 14 0 5 10 15 20 25 30 35 x 12 6 4 2 16 y 从图中看出,这些点虽然都不在一条直线上 , 但都分布在一条直线附近,因此可以用这条直 线来近似表示y与x之间的关系,这条直线的方程 称为y对x的一元线性回归方程(也称为经验公式 ).这条直线的方程 其中a,b称为回归系数, 表示直线上y的值与实 际值是有差别的. 二、最小二乘法与回归方程 下面利用n对观测值 确定回 归方程中的回归系数. 采用最小二乘法.记 我们寻找使 达到最小值的a,b. 是a,b的二元函
4、数,根据二元函数取极值 的必要条件,对 求偏导,得 方程组整理后,得 二元函数取极值的必要条件： 设函数 在点 具有偏导数且在 点 有极值,则它在该点的偏导数必为零. 解方程组得a,b的值为 其中 , 为了方便计算,记： 则 因上式所求得的回归系数a,b是仅依据n组样 本值对a,b的一种估计值,一般用 表示,即 由 所确定的回归直线方程也相应地记作 下面计算例1中y对x的一元线性回归方程.首先 将计算列成如下表 序号 xi yi xi2 yi2 xiyi 1 12 3.214410.2438.4 2 18 6.132437.21109.8 3 21 10441 100210 4 14 3.61
5、9612.9650.4 5 9 1.1 81 1.219.9 6 11 1.3121 1.6914.3 7 25 14625 196350 8 28 15784 225420 9 17 5289 2585 10 16 5.925634.8194.4 合计171 65.2 3261 664.12 1382.2 计算,得： 故所求线性回归方程为 三、一元线性回归的相关性检验 用最小二乘法求回归方程,并没有要求y与x存 在线性相关关系,当y与x不存在线性相关关系时,求 出的线性回归方程就没有意义了,因此我们还必须 检验y与x之间是否存在线性相关关系,即进行相关 关系的检验. 考虑偏差平方和 可证明
6、令 则 由于 且 所以 即 从 看出,|r|引起Q的变化, 当|r|接近1时,Q的值就接近0,说明y与x之间的线 性关系就好;当|r|接近0,Q的值就较大,用回归直 线来表达y与x之间的线性关系就不准确.由于r的大 小可以表示y与x之间具有线性关系的相对程度,因 此将 称为y对x的相关系数. 特别地,当 时, 则散点图上的点 完全落在回归直线 上,称y对x完全相关; 当 时Q的值最大说明y与x无线性关系. 相关性检验的步骤如下： （1）提出原假设 y与x存在显著的线性相关关系 （2）选用统计量 根据样本值计算r的值； （3）给定显著性水平 ,按自由度 .查相关系 数表,求出临界值 ; （4）做
7、判断. 若 ,则接受 ,即认为在给定 显著性水平 下y与x的线性相关关系较显著;若 ,则拒绝 ,认为y与x的线性相关关系不显著. 例2 例1中y与x的线性相关关系是否显著?(取 显著性水平 ) 解 假设 y与x的线性相关关系显著 从而相关系数为 由 , ,查相关系数表,得 所以接受假设 ,即在 下,认为y与x的线性 相关关系显著. 四、回归预测 当回归方程检验显著有效时,回归方程 就大致反映了y与x之间的变化规 律.对于x取任意值x0,虽然不能精确地知道相应 的y的真值,当用回归方程 可以估计 出y的真值的取值范围,就是回归预测问题. 要用 去预测y的真值取值范围,只要估计出偏差 的大小即可.因为偏差通常服从正态分布,即 由正态分布的 法则知 可以证明 是 的无偏估计量,其中 于是用 代替 ,得 y的置信水平为0.99的置信区间为 y的置信水平为0.95的置信区间为 y的置信水平为0.68的置信区间为 例3 对例1求得的回归直线方程 , 求当年收入为20（千克）时,年储蓄的置信水平为0.95 的置信区间. 解 当 时, 年储蓄的置信水平为0.95的置信区间为 由例2知 从而 因此,当年收入为20(千克)时,年储蓄的置信水 平为0.95的置信区间为
