《复变函数§3_泰勒级数.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数§3_泰勒级数.（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以 z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点. z0 K z r z 按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达. q与积分变量z无关, 且0q1. z0 K z r z K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因 此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M. 因此, 下面的公式在K内成立: 称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在
2、z0处 的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以, 如果 z0到D的边界上各点的最短距离为d, 则 f (z)在z0的泰勒展 开式在圆域 |z-z0|d 内成立. 定理(泰勒展开定理) 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一 点, d为z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|d 时, 注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|. y z0 a x 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我
3、们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法 例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成 立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: 除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级 数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函 数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0 的泰勒展开式也可以用间接展开法得出: 解 由于函数有一奇点
4、z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级数. 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. 解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数. -1O R=1 x y 推论1： 注： 推论2： 推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点. (即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛) 例如： 推论4： 例如： 而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数 1-z2+z4- 它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收 敛圆周上, 所
5、以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即 使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中 就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式 的成立必须受|x|R1时, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛. z0 R1 R2 例如级数 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛 域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成 幂级数?先看下例. 其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开
6、为z-1的幂级数: 1O x y 定理 设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. 证 设z为圆环域内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的 正向圆周K1与K2, K2的半径R 大于K1的半径r, 且使z在K1与 K2之间. R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 由柯西积分公式得 R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 因此有 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则 根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示: C z0 R1 R2 称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1|z
7、-z0|R2内的洛 朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内 的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项 的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以 用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛 朗级数的展开式. 解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数. x y O 1 x y O 12 x y O 2 先把 f (z)用部分分式表示: ii)
8、 在1 |z| 2内： iii) 在2|z|+内: 例2 把函数 解 因有 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内 解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情 形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的 唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展 开式是唯一的. 例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。 在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的 圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式 有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式; 在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上 .因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展开式。 O -i i 特别的，当洛朗级数的系数公式 （即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线 , f (z) 在此圆环域内解析. 例 解： 例4 解： 故c-1=-2,
