成都大学解析几何课件总复习.

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1、上页 下页 结束 解析几何总复习 第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线分类 第四章 正交变换与仿射变换 第五章 考试题型 上页 下页 结束 向量代数 1. 向量的各种运算 加法、数乘、内积、外积、混合积 重点掌握: (1) 各种向量运算的法则及其坐标运算. = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R, 设在某直角坐标系I: O; e1, e2, e3中, 解析几何总复习 上页 下页 结束 + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 一个向量 = a1b1 + a2b2 + a3b3 一个数

2、 = (a1, a2, a3) 一个向量 一个向量 解析几何总复习 上页 下页 结束 一个数 (2) 向量的夹角 ( ) = ( ) ( ) 一个向量 解析几何总复习 上页 下页 结束 (3) 外积、混合积的几何意义. 外积的长度 | | -以, 为邻边的平行四边形的面积 混合积的绝对值 |(, , )| -以, , 为同一顶点三条棱的平行六面体体积 2. 向量或点的共线、共面问题 (1) 与 共线 = 0. (2) , , 共面 (, , ) = 0. 解析几何总复习 上页 下页 结束 空间解析几何 1. 求平面方程 (1) 平面的点向式方程 已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向

3、量 v1(X1, Y1, Z1) , v2(X2, Y2, Z2) 不共线, 则过M0且平行于 v1, v2的 平面方程为 (M0M, v1, v2) 其中 M 为平面上任一点. 解析几何总复习 上页 下页 结束 (2) 平面的一般方程 (3) 直角坐标系中平面的点法式方程 Ax + By + Cz + D = 0 其中 注意: 标准方程与一般方程之间的互化. 已知一点 M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量 n(A, B, C) , 则平面方程为 A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0, 解析几何总复习 上页 下页 结束 2. 求空间直线方程 (1)

4、直线的标准方程 已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为 (2) 直线的参数方程 解析几何总复习 上页 下页 结束 (3) 直线的一般方程 注意: 标准方程与一般方程之间的互化. 3. 求夹角 (1) 直线与直线 (2) 直线与平面 (3) 平面与平面 归结为两向量的夹角 解析几何总复习 上页 下页 结束 4. 求距离 (1) 点到直线 (2) 点到平面 (3) 两异面直线 解析几何总复习 上页 下页 结束 5. 判断位置关系 (1) 两直线(平行、相交、重合、异面) (2) 两平面(平行、相交、重合) (3) 直线与平面(属于、平行、相交

5、) 6. 求旋转面、柱面、锥面方程 (1) 旋转面 设旋转面S 轴线 l 过点M0 , 平行于向量u0; 母线 M (x, y) , MM u0 = 0, |M0M| = |M0M| . 则 M(x, y) S 解析几何总复习 上页 下页 结束 圆柱面 定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r, 点 M 在圆柱面上 方程的建立: 方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上, |M0M u| = |M0M1 u|. 点 M 在圆柱面上 解析几何总复习 上页 下页 结束 圆锥面

6、 定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角. 方程的建立: 方法1: 锥顶为M0, 半顶角为, 点 M 在圆锥面上 |M0M u| = |M0M| |u| cos . 方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上, 点 M 在圆锥面上 |M0M u| |M0M1| = |M0M1 u| |M0M| . 解析几何总复习 上页 下页 结束 (2) 柱面 设柱面S / u(k, m, n), 准线 : 则点 M(x, y, z) S 存在实数 t, 使得 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程. 定理: 若一个柱面的母

7、线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面. 解析几何总复习 上页 下页 结束 (3) 锥面 定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面. 在以锥面顶点为原点 的直角坐标系中, 锥面方程必是关于 x, y, z 的齐 次方程. 设锥面S锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线 : 则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上存在实数t, 使 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得

8、 S 的方程. 解析几何总复习 上页 下页 结束 (一) 椭球面 1 椭球面: 2 点: (二) 双曲面 3 单叶双曲面: (1) 非空二次曲面的类型 4 双叶双曲面: 7. 二次曲面 解析几何总复习 上页 下页 结束 (三) 抛物面 5 椭圆抛物面: 6 双曲抛物面: (四) 二次锥面 7 二次锥面: (五) 二次柱面 8 椭圆柱面: 解析几何总复习 上页 下页 结束 9 一条直线: 10 双曲柱面: 11 一对相交平面: 12 抛物柱面: 14 一张平面: 13 一对平行平面: 解析几何总复习 上页 下页 结束 (2) 五类二次曲线的图形特征 (平行截线的变 化规律; 范围; 对称性; 图

9、像) 1 椭球面 2 单叶双曲面 3 双叶双曲面 4 椭圆抛物面 5 双曲抛物面 解析几何总复习 上页 下页 结束 类型 所有二次柱面 所有二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面 特点 二次柱面: 所有直母线都平行于一个固定向量. 二次锥面: 所有直母线都过同一个点. (3) 直纹二次曲面 解析几何总复习 上页 下页 结束 双曲抛物面: 恰有两族直母线 c R, 同族的直母线都平行于同一张平面; 异族的直母线一定相交. 有如下特征性质: 方向向量分别为: uc (a, b, c), uc (a, b, c), 同族的两条不同直母线一定异面; 解析几何总复习 上页 下页 结束 单叶双曲面: 恰有两族直

10、母线 其中 s, t 不全为零. 解析几何总复习 上页 下页 结束 同族的任何三条不同的直母线都不平行于 同一张平面; 异族的直母线一定共面. 有如下特征性质: 方向向量可分别取为: 同族的两条不同直母线一定异面; 解析几何总复习 上页 下页 结束 坐标变换与二次曲线的分类 1. 坐标变换公式 (1) 仿射坐标变换公式、过渡矩阵的性质 (2) 直角坐标变换公式、正交矩阵的特点 2. 二次曲线的分类 (1) 利用移轴和转轴求二次曲线标准方程 (2) 利用不变量判断二次曲线类型 解析几何总复习 上页 下页 结束 3. 计算二次曲线的仿射特征、度量特征 (1) 中心型二次曲线的中心 (2) 渐近线

11、(3) 直径与共轭直径 (4) 圆锥曲线的切线 (5) 圆锥曲线的对称轴、顶点 (6) 根据圆锥曲线的仿射、度量特征画简图 解析几何总复习 上页 下页 结束 保距变换与仿射变换 1. 仿射变换 (1) 概念与性质 (2) 仿射变换基本定理 (3) 仿射变换的变换公式、变换矩阵 (4) 仿射变换的不动点与特征向量 2. 保距变换 (1) 概念与特点 (2) 保距变换基本定理 (3) 保距变换的变换公式、变换矩阵 解析几何总复习 上页 下页 结束 3. 图形的仿射分类与度量分类 (1) 仿射等价与度量等价 (2) 仿射概念、仿射性质和度量概念、度量性质 (3) 利用图形的仿射分类解决某些几何问题 注意几个常见的仿射等价类: 全体三角形; 全体平行四边形; 每一类二次曲线. 解析几何总复习 上页 下页 结束 1. 考试题型 (1) 填空题 (3) 选择题 (4) 计算题 解析几何总复习 考试题型及重点例题 (2) 判断题 (5) 证明题 2. 重点例题 P70. 例2.9 P168. 例3.5 P172. 例3.6 P152. 例3.4 P198. 例4.2 P214. 例4.4 上页 下页 结束 解析几何总复习 谢 谢 !

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