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1、标 量 和 矢 量 1 1 标（数）量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 例如,在直角坐标下, 2 标量场-等值线(面). 其方程为 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 在某一高度沿某方向对距离的变化率？ 3 标量场的方向导数和梯度 一、方向导数 设为标量场中的一点，从 出发引一条 ，在上点的邻近取一动点，记 若当时比式 射线 的极限存在，则 称它为函数 在点 处沿 方向的方 向导数，记作 由此定义可知，方向导数 等是在一个点沿 方向的 函数 对距离的变化率 4
2、在直角坐标系中，方向导数有如下面定理给出的计算公式 定理：若函数 在点 处可微； 为 方向的方向余弦则函数在点 处沿 方向的方向导数必存在，且由如下公式给出 单位向量 矢量 方向导数的最大值为 5 二、梯度的定义 若在标量场 中的一点 处，存在这样一个矢量 ，其方向为函数 在 点处变化最大的方向， 其模也正好是最大变化率的数值，则称矢量 为函数 在点 处的梯度，记作 梯 度 的 物 理 意 义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（ 面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即 该点最大方向导数;
3、6 一、通量 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源) 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以 根据净通量的大小判断闭合面中源的性 质: 2 矢量场的通量与散度 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 7 二、散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点 P 时, 通 量与体积之比的极限存在，即 则称此极限为矢量场 在点P处的散度 A= 0 (无源） A= 0 (负源) A= 0 (正源) 矢量的散度是一个标量，表示在场中一点处通量对体积的变 化率，是该点对一单位体积所穿出的通量，称该点处源的强度 8 定理：在直角坐标系中，矢量场 在任一点 处的散度为 推论：奥氏公式 矢量函数的
4、面积分与体积分的互换。 9 3 矢量场的旋度 一、环量 在笛卡尔坐标系中，矢量 的旋度为 二、旋度 10 斯托克斯公式 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界 的分片光滑的有向曲面， 的正向与的侧符合右手规 则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)及R(x,y,z)在包含曲面在 内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有斯托克斯 公式： 11 格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及 Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式： L是D的的整个边界曲线 如果 则表达式是某个函数的全微分 12 P(x,y,z)、 Q(x,y,z) R(x,y,z) 是某一函数全
5、微分的充分必要条件。 13 笛卡尔张量 14 3 笛卡尔张量 一、张量 在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量 30 零阶张量 一个分量 31 一阶张量 三个分量 32 二阶张量 九个分量 在直角坐标系中，称笛卡儿张量； 在其他坐标系称普遍张量 。 坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量 15 （1）指标表示法和符号约定 x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 分别计作 指标表示法 直角坐标的3个方向记做1、2、3， 16 求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1 到3求和 （1）指标表示法
6、和符号约定 17 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： 每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和 ，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标 。 于是 18 例如 指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。 一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写： 自由指标和哑指标 在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。 19 i 为自由指标，j 为哑标 表示 20 例题1. 展开下列求和式， （1）指标表示法和符号约定 解： 21 克罗内克尔
7、(Kronecker)符号 （1）指标表示法和符号约定 与 相乘，相当于把 的下标 j 置换为 i。 符号具有以下重要性质： 22 符号具有以下重要性质： 克罗内克尔(Kronecker)符号 （1）指标表示法和符号约定 置换符号 i、j、k 偶排列， 123，231，312 i、j、k 中有两个以上指标相同时 i, j, k 奇排列， 213，321，132 23 有以下重要性质： 置换符号 （1）指标表示法和符号约定 24 重要公式汇总 （1）指标表示法和求和约定 25 标量是一维的量，它只需1个数来表示，如温度、密度等。 矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由沿某一空 间坐标
8、系的3个坐标轴方向的3 个分量来表示，矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整地 表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量是低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。 笛卡尔张量。 （2）笛卡尔张量 标量、矢量和张量 26 二阶张量 二阶张量有 9 个分量，二阶张量也可表示为矩阵形式， 标量、矢量和张量 （2）笛卡尔张量 张量可以用黑体大写字母 表示，也可用它的一个分量 表示。 27 张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， 若 则 二阶张量的代数运算 若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一
9、个直角坐标系中也相等。 （2）笛卡尔张量 28 张量加减 设 、 ，则 二阶张量的代数运算 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同 阶的张量才 能相加减。 （2）笛卡尔张量 29 二阶张量的代数运算 张量乘积 设 、 ，分量相乘， 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。 （2）笛卡尔张量 30 若二阶张量分量 之间满足 则称此张量为对称张量，可表示为, 一个对称张量，只有6个独立的分量。 对称张量 共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 （2）笛卡尔张量 31 若二阶张量分量 之间满足 则称此张量为反对称张量，可表示为 一个二阶
10、反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素 均为零。 反对称张量 共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 （2）笛卡尔张量 32 张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对 称张量之和 容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张 量。 共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 （2）笛卡尔张量 33 回顾： 梯度、散度和旋度 2.1 哈密尔顿（Hamilton）算子 哈密尔顿（Hamilton）算子是矢量微分算子，其定义如下： 2.2 数量场的梯度 设数量函数 连续可微，则： 称为u的梯度。数量函数u的梯度是矢量，指向u变化率 最大的方向。 34 2.3散度
11、 设矢量函数 的散度。矢量的散度是标量。 连续可微，则称下式为矢量A 2.4旋度 设矢量函数 连续可微，则称三阶行列式 为A的旋度。上述行列式的展开式为： 35 哈密顿算子 利用张量下标表示法哈密顿算子可写为 一个具有微分及矢量双重运算的算子 （1）指标表示法和符号约定 36 利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两 种运算。 梯度 散度 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 37 旋度 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 38 拉氏算子 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 39 例2. 已知, , 求: 解（1） （1）指标表示法和求和约定 是位置矢量。 （2） 40 （1）指标表示法和求和约定 （3） （4） 41 （1）指标表示法和求和约定 （5） （6） 42
