卫星定位理论与方法-第3次课.

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1、第 3次课卫星的运动 测量与导航工程系 导航与定位教研室 陈明剑 1 本次课主要内容 l重点： 二体问题微分方程及其解 l难点： 二体问题微分方程推导 2 基础知识 lKepler第一定律椭圆率 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位 于椭圆的一个焦点上。 lKepler第二定律面积率 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内 扫过相等的面积 lKepler第三定律周期律 行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨 道的长半径a的立方成正比 3 l牛顿第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运动的状态 ，除非有作用在物体上的力迫使其改变这种状态 。 l牛顿第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且

2、与作用力的方 向相同 l牛顿第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的反作用 4 5 6 一、研究二体问题的目的意义 (The Purpose of Studying Two-Body Problem) 7 8 二体问题 在天文学中，根据牛顿万有引力定 律研究空间两个天体（看成质点）在相 互引力作用下的运动规律问题。 9 如何确定卫星位置（如何定轨）(How to Get the Satellite Position) l分析卫星的受力情况 l根据受力情况，列出运动的微分方程 10 l解方程 数值法：利用计算机，对微分方程进行数值积分，直 接解出某一时刻卫星的位置和速度。 l优点：便于实

3、现，精度高，现已广泛应用于精密定 轨； l缺点：不能给出解析解，不便于分析卫星的运动规 律。 解析法：以卫星的受力解析为基础，依据牛顿第二定 律（或物体的微分运动方程），推导出与卫星运动相 关的参数，这是在计算机出现之前唯一的方法。 l优点：便于分析卫星的运动规律； l缺点：分工推导繁琐，难以得到完整严密的运动方 程的解，精度不高。 11 1、卫星的受力情况 地球的引力 日月引力 潮汐力 大气阻力 光压力 12 地球的引力分为两部分 均质球体引力 非均匀球形部分引力 13 l卫星围绕着地球运行，作二体问题研究，必须满足以 下条件： 必须在惯性系下考虑问题。 卫星作为质点。卫星的体积小，与其到地

4、球的距 离相比，可忽略不计，即卫星可作为质点计。 地球作为质点。地球可分成均质地球和非均质地 球两部分。均质地球对外部点的引力等于球心的 质点的引力。因此，如果把非均质地球的引力作 为摄动力的话，均质地球可作为一个质点。 14 2、目的意义 均质球体引力决定着卫星运动的主要规律和特征 ，它是卫星运动的近似描述； 二体问题是惟一能得到严密解的问题，而多体问 题还不能得到严密解； 二体问题是精确研究卫星运动的基础。 15 二、微分方程的解（面积积分） 16 17 AX+BY+CZ=0 18 19 20 h为单位时间矢径所扫过面积的2倍 21 22 23 二、 微分方程的解 l面积积分 的物理意义更

5、明显 三个积分常量确定了卫星运行轨道是在 一个平面上 ？这个轨道的形状是什么，又 有什么特性。 24 2. 轨道积分（轨道椭圆参数） 25 26 高数矢量知识： 27 h为常量 28 29 30 当 ，此时r对应的点称作近地点 。 为升交点至近地点之间的夹角，称作近升角距。 31 l通过面积积分和轨道积分，共获取了5个描述 轨道状态的参数 确定了轨道平面在地心坐标系中的位置 确定了轨道的形状 确定了轨道中短半轴在坐标系中的指向 32 3.卫星的平均角速度 l卫星在各个位置上的速度是不同的。在近地 点速度最大，在远地点速度最小。 33 给定的椭圆的长半轴, 平均角速度是常量，不随时间变 化 34

6、 4 .几种近地点角的关系 35 36 37 5.开普勒积分 38 求导 39 40 它给出了偏近地点E和时间t之间的关系，而偏近 地点E和卫星的径向距离r又有关系 。开普勒方程 也间接地给出了r和t之间的关系 M以平均角速度 n随时间t作线性 变化，故称之 为平近地角 41 6.开普勒方程的解 迭代法 微分改正法 42 迭代法 E和M都以弧度为单位 43 微分改正法 当偏心率e较大时，迭代法的收敛速度就会很慢，此时可 考虑采用微分改正法，对开普勒方程取微分，可得： 44 四、能量积分和活力积分 1.速度关系 45 积分 46 取卫星过近地点的位置，则有： 47 48 五、轨道根数的物理意义

7、， 轨道平面倾角 升角点赤经 轨道椭圆长半轴 轨道椭圆偏心率 近升距，即升 交点至近地点的角 距 卫星过 近地点时刻 卫星过近地点的角度 49 对于近圆轨道： 50 近点角与时间的关系 51 卫星运动的基本关系式 轨道方程 速度公式 几何关系 52 l思考题： l根据上课内容推导出六个轨道参数。 l推导活力公式。 3. 推导真近点角和偏近点角关系 53 第二节 二体问题的卫星星历计 算 二体问题的星历计算： 已知卫星的轨道根数，按二体问题公式计 算任意时刻卫星的位置。 54 一、卫星的瞬时位置 l在轨道直角坐标系中卫星的位置 55 l天球坐标系中的位置 56 l卫星在地球坐标系中的位置 在精密

8、定轨中，所求定的瞬时轨道根数目前 均采用J2000.0 惯性坐标系 。 卫星位置向量需先考虑岁差章动的影响先转 换到瞬时真天球坐标系中 57 l但在实际应用中，由GPS导航电文中一组轨 道根数，按上面公式求得的结果已相应于瞬 时天球系中的位置向量，因此，为转换到瞬 时地球坐标系，只须绕Z轴旋转该时刻的 GAST(t)： 58 l协议地球坐标系： 59 二、卫星的运行速度 1.轨道直角坐标系中 60 l天球坐标系中 61 l地球坐标系中 = 62 二、轨道计算 l由 求取轨道根数 1计算 63 l2计算 由活力公式： 64 由方程，得： 65 l进一步，有： 66 l计算 67 l由 求取轨道根

9、数 1.计算 68 l用面积比法求半通径P（扇形面积与三角形面 积之比） 69 l计算 70 l计算 71 72 l计算题： 已知卫星轨道根数如下，计算卫星在ti 9： 00时的位置 a=9 600 000 000km e = 0.01 =100.000 000 0 =50.000 000 0 i=30.000 000 0 t0 = 8:00:00 GM=3.986005 x 1014 m3/s2 73 第三节卫星的受摄运动 l一、受摄运动及其微分方程 实际上，卫星在运动中所受到的力要 复杂的多：除了二体问题所考虑的正 球引力外，还受到诸如地球引力的非 质心引力部分、大气阻力、日月引力 、光幅

10、射压力和非惯性坐标系的惯性 力等 。 74 75 二、受摄运动的微分方程 1. 拉格朗日行星运动方程 76 参数变易法解得到以二体问题的椭圆轨道根数为基 本变量的受摄运动方程： 77 2. UNW型（牛顿受摄运动方程） 沿卫星运动方向的加速度U，沿主法线方向 的加速度N和沿与前二方向成右手系的方向的 加速度W。 主要用于计算大气阻力的摄动和光压摄动。 78 三、摄动力表达式 大地重力学知道，用球函数表示地球引力为 ： 79 l四、实际解决方案 l多普勒星历 预报星历。拟合前36个小时平均椭圆参数， 外推出16个小时，每2分钟加入摄动改正。 l星历分成两部分： 固定参数：经过平滑的椭圆轨道。 可

11、变参数：每两分种播发一次，对平均轨道 改正 80 固定参数： 可变参数： 偏近角改正 长半轴改正 垂直轨道面摄动分量 81 l2. GPS星历 采用的方法很多，有时间的多项式，调 和展开式，开普勒根数加上摄动改正。 GPS采用最后一种。 82 1小时更新率，参考时刻居中， 这样精度高，参数少。 星升距的余弦、正弦调合改正项的振幅 矢径的余弦、正弦调合改正项的振幅 倾角的余弦、正弦调合改正项的振幅 83 void satpos(double *eph, double Ttr, double * Trel, double * X) /* IN:ephemeris eph */ /* IN: satellite GPS time Ttr */ /* OUT:relativistic correction termTrel */ /* OUT:satellite position X*/ double M0, dn, ec, A, W0, i0, w, Wdot, Cuc, Cus, Crc, Crs, Cic, Cis, Toe,Idot, T, n0, n, M, E, Eold, snu, cnu, nu, phi, du, dr, di, u, r, i,Xdash, Ydash, Wc; 84