清华大学计算固体力学第十次课件_接触-碰撞.

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1、非线性有限元 第10章 接触-碰撞 计算固体力学 第10章 接触-碰撞 1引言 2接触界面方程 3摩擦模型 4弱形式 5有限元离散 6显式方法 1 引言 在制造加工过程的仿真中包括接触和碰撞。例如，在薄金 属板的成型中，模具和工件之间接触面的模拟；汽车碰撞和挤 压成型的模拟，都需要有接触滑移界面。接触问题的失效形式 是相互作用的接触面发生破坏。 对于接触-碰撞，将展示Lagrangian网格的控制方程和有 限元程序。在接触中，物体的控制方程与前面介绍的方程是一 致的，但在接触界面上，需要增加动力学和运动学的条件。 关键条件是不可侵彻性条件：即两个物体不能互相侵入的 条件，不可侵彻性不能表示为一

2、个简单的方程，所以，发展了 几种简单的方法。其中两个基于最近点映射的形式： 1）显式动态问题适用的率形式； 2）主要适用于隐式方法的平衡解答。 此外，经典的Coulomb摩擦模型和界面本构模型。 1 引言 给出控制方程的弱形式，处理接触界面约束的4种方法： 1 Lagrange乘子法， 2 罚方法， 3 增广的Lagrangian法， 4 摄动的Lagrangian法。 由Lagrange乘子法，在接触问题的离散化中，在接触 界面上乘子必须是近似的。乘子必须满足法向面力是压力 的约束。 在罚方法中，面力不等式源于Heaviside分步函数，该 函数被嵌入在罚力之中。 1 引言 接触-碰撞问题是

3、属于最困难的非线性问题之一，因为在 接触-碰撞问题中的响应是不平滑的。 当发生瞬时接触时，垂直于接触界面的速度是瞬时不连 续的。对于Coulomb摩擦模型，当出现粘性滑移行为时，沿着 界面的切向速度是不连续的。 接触-碰撞问题的这些特性给离散方程的时间积分带来了 明显的困难，削弱了Newton算法的功能。 因此，选择适当的方法和算法是至关重要的，并且在获 得强健的求解程序中，规则化的技术是非常有用的。 2 接触界面方程 模拟接触-碰撞问题的标记 接触界面包含两个物体表 面的交界。 接触界面包括两个物体处于接触的两个物理表面，它们是重合 的，在数值计算中，两个表面一般不重合，分为主控和从属表面。

4、 接触界面是时间的函数，确定它是接触-碰撞问题解答的重要部分 。 在通用有限元软件中，接触算法能够处理多个物体的相互作 用，然而多个物体的接触包含成对物体的相互作用。因此，从考 虑两个物体的问题入手。 2 接触界面方程 在主控接触表面的每一点建立局部坐标系统，可以构造相切 于主控物体表面的单位矢量： 物体A的法线给出为 在接触界面上有 即两个物体的法线方向相 反。以局部分量的形式表 示速度场 在三维问题中希腊字母 下角标的取值范围为2；当问 题是二维时，接触表面成为 一条线，取值为1。 2 接触界面方程 物体由标准场方程控制：质量、动量和能量的守恒，应变度量 ，以及本构方程。接触增加了条件：

5、1 在界面上，两个物体不可相互侵入和面力满足动量守恒； 2 横跨接触界面的法向面力不能为拉力。 按照要求分类： 1 对于位移和速度的要求作为运动学条件， 2 对于面力的要求作为动力学条件。 不可侵彻性条件 2 接触界面方程 一对物体的不可侵彻性条件可以表示为交集为零 例如，如果物体在旋转中，对于 P 点接触Q 点是可能的，而一个 不同的相对运动可能导致P 点与 S 点接触。结论是，除了以一般 的形式，找不到其它的方程表示 P 点没有侵入物体A 的事实。 两个物体不允许重叠，这可以视为一个协调条件。对于大位 移问题，不可侵彻性条件是高度非线性的，并且一般不能以位移 的形式表示为一个代数方程或者微

6、分方程。其困难源于在一个任 意运动中，不可能预先估计到两个物体的哪些点将发生接触。 不可侵彻性条件 运动学 2 接触界面方程 由于以位移的形式表示交集为零的公式是不可能的，所 以，在接触过程的每一阶段中以率形式或者增量形式表示不 可侵彻性方程是很方便的。其率形式应用到物体A和B上发生 接触的部分，即是位于接触表面上的那些点 两个物体的相互侵彻速率 利用 点乘 得到上两式 并且利用法线是正交于与平面相切的单位矢量的事实。 不可侵彻性条件 2 接触界面方程 对于在接触表面上的任意点，不可侵彻性条件限制了相互 侵彻速率成为负值，表示当两个物体发生接触时，它们或者必 须保持接触 或者脱离 。 对于接触

7、区域上的所有点当满足上式时，精确满足不可侵 彻性条件。然而，公式与交集为零不是等价的。在大多数数值 方法中，仅在瞬时时刻注意到该式，对于接近分离而没有接触 的点，相互侵彻是可能的。该式仅适用于处于接触的成对点。 不可侵彻性条件 2 接触界面方程 上面强化公式将不连续性引入速度时间历史中。在接触之 前，法向速度是不相等的，而在随后发生碰撞，法向速度分量 必须满足公式。在时间上的这些不连续性使得离散方程的时间 积分变得很复杂。 间隙率是相互侵彻率的负数。 相对切向速度给出为 动力学面力条件 2 接触界面方程 横跨接触界面，面力必须服从动量平衡。由于界面上没有质 量，这就要求两个物体上面力的合力为零

8、： 在法线方向上，不考虑在接触表面之间的任何粘性，法向面 力不能是拉力。其条件表示为 这个条件要求 为正数，物体B上的面力在A的单位法线上的投影， 它指向物体B。对应于物体A和B，注意到上面的表达式是不对称的 。为了定义法向面力，选择其中一个物体的法向，并且物体法向面 力的符号将取决于选择的这个法向。 定义切向面力为 面力条件 2 接触界面方程 切向面力投影到主控接触表面上的面力合力，由动量平衡要求 当应用接触的无摩擦模型时，切向面力为零 在前面建立接触界面方程中，尽管选择了其中一个物体为主 控物体，当两个接触表面是重合时，且满足公式 ， 对于物体，这些方程是对称的。因此，选择哪个物体作为主控

9、物 体是没有关系的。但是，当两个表面不重合时，如在大多数数值 求解中，则主控物体的选择会改变结果。 单一接触条件 2 接触界面方程 由法向面力不是拉力的条件 由不可侵彻性条件 得到单一接触条件 当物体发生接触并且保持接触时， 而当接触停止 ，并且法向面力消失 ，乘积 总是为零。 这个方程也可以表示为接触力的法向分量不工作的事实。 相互侵彻度量 2 接触界面方程 在物体B上的点P侵入到物体A的内部，定义为至物体A的表面 上任意点的最小距离。在用坐标 表示点P到物体A表面上 的任意点之间的距离给出为 图示物体B上的点P已经侵入物体A。寻找相互侵彻的度量， 它表示为 在物体A上的点Q是最接近于物体B

10、上的点P：它是点P在A上的正交 映射。 相互侵彻度量 2 接触界面方程 相互侵彻量 为上式的最小值，并且考虑到仅当P在物体 A内部时才是非零的。通过检验法线到物体A在 上的投影，可以检验后面的条件：当投影是负值时，点P是在物 体A的内部，因此有相互侵彻，否则P不在A的内部，没有相互侵 彻。所以，相互侵彻的定义是 令相互侵彻度量对坐标求导数取值为零，求出 最小值。 2 接触界面方程 考虑发生部分侵彻的两个表面。主控物体是9节点等参单元 ，所以表面A 的3个节点是二次映射定义： 从属物体B的表面为一条水平线，给出为 例子10.1 在例子中的相互侵彻已经被夸大了。注意到沿着界面有 对于在表面B上的点

11、P，找到相互侵彻。求点Q 正交投影的最小值 2 接触界面方程 例子10.1 取最小化给出为 数值求解上式的根为r0.2451，因此Q点位置为， 对于在表面B上的点P，找到相互侵彻。求点Q 正交投影的最小值 2 接触界面方程 当两个物体是不光滑或者不是局部地凸状时，这种定义相互 侵彻的方法将会遇到困难。如在图示情况下， 的最小值是 不唯一的：这里有两个点为P的正交投影。在这种情况下，难以 建立一种方法，能够唯一地定义相互侵彻的度量。 通过一个有转折表面的侵彻，说明正交映射点求解的不唯一性。 相互侵彻度量 2 接触界面方程 在ABAQUS/Standard和/Explicit中的接触模拟功能具有明

12、 显的差异。 在/Standard中的接触模拟或者是基于表面（surface）或 者是基于接触单元（contact element）。因此，必须在模型 的各个部件上创建可能发生接触的表面。然后，必须判断哪一 对表面可能发生彼此接触，称之为接触对。最后，必须定义控 制各接触面之间相互作用的本构模型。这些接触面相互作用的 定义包括如摩擦行为等。 在/Explicit中的接触模拟可以利用通用（“自动”）接 触算法或者接触对算法。通常定义一个接触模拟只需简单地指 定所采用的接触算法和将会发生接触作用的表面。在某些情况 下，当默认的接触设置不满足需要时，可以指定接触模拟的其 它形式；例如，考虑摩擦的相互

13、作用力学模型。 在电子工业中，为了评估 产品的耐久性，仿真分析 正代替跌落试验。 电子产品跌落模拟 通用接触算法(general contact) Global ModelLCD Submodel 电子产品跌落模拟 非线性有限元的应用 2 接触界面方程 在/Standard和/Explicit中的力学接触算法具有本质的 区别，体现在如何定义接触条件： 1 /Standard在施加接触约束时采用严格主从权重：约束从 属表面节点不能侵入主控表面。而主控表面上的节点原则上 可以侵入从属表面。/Explicit包括这个公式，但是典型地 默认应用平衡主从权重。 2 /St和/Ex都提供了有限滑动接触公式

14、。在/St中的二维 有限滑动公式要求主控表面是光滑的；而在/Ex的主控表面 是由面元构成的，除非是解析刚性表面，其主控表面可以 是光滑的。 3 /St和/Ex都提供了小滑移接触公式。在/St中的小滑移 公式根据从属节点的当前位置向主控节点传递载荷。/Ex总 是通过固定点传递载荷。 4 /Ex在接触逻辑中可以考虑壳和膜的当前厚度和中面偏 移，/St不能。 /Ex通用接触算法的许多优势在/St中不具备。由于上 述的差异，所以在/St分析中定义的接触不能导入/Ex中， 反之亦然。 2 接触界面方程 3 摩擦模型 一般将切向面力的模型称之为摩擦模型。基本上有三种形式 的摩擦模型： 1 Coulomb摩

15、擦模型，它是基于经典摩擦理论的模型。 2 界面本构方程，由方程给出切向力，类似于材料本构方程。 3 粗糙润滑模型，模拟界面的物理特性，常用于微观尺度。 摩擦能量消耗，本构问题 磨损材料损耗，本构问题 3 摩擦模型 在Coulomb摩擦模型应用于连续体中，它应用在接触界面的每 一点，如果A和B是在x处接触，则 Coulomb摩擦模型 是一个变量，由动量方程的解答确定。两个物体在一点 处接触的条件意味着法向力 ，因此，两个表达式的右端项 恒正。 条件(a)作为粘着条件：当在一点处的切向面力是小于临界值 时，不允许相对切向运动，即两个物体为粘着的。 条件(b)对应于滑动条件，该方程的第二部分表示切向摩擦的 方向必须是与相对切向速度的方向相反。 3 摩擦模型 Coulomb摩擦模型 Coulomb摩擦更类似于刚塑性材料本构。如果将切向速度理解 为应变，将切向面力理解为应力，则上式中的a)式可以理解为屈 服函数。当屈服准则不满足时，切向速度将为零；一旦满足了屈 服准则，则切向速度沿着由b)式确定的方向。这些特征平行于刚 塑性材料模型。 3 摩擦模型 界面本构方程 界面行为的本构模型源于凸凹不平导致的表面粗糙度，发 生在微观尺度上即使是最光滑的表面。在滑动中，摩擦是由粗 糙部分的相互作用生成的。最