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1、机械信号处理 黑龙江工程学院 2015.03 陈曦 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 课程结构 机械信号时域处理方法及应用 机械信号的预处理 MATLAB在信号处理中的应用 信号处理中常用数学变换 课程导论 机械信号频域处理方法及应用 机械信号分类与测量 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 第二章 信号处理中常用数学变换 Echanical Signal Processing 信号是信息的载体，信号中包含信息，这些 信息反映了一个物理系统的状态和特征。 实测信号通常为时间信号，为了提取其中的 信息，必须将之转换为一种
2、易于分析和识别的形 式，新的信号形式比原始信号更易于提取信息的 要求。 需要对信号信息处理和变换 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 2.1 傅里叶变换 一、傅里叶级数 法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都 可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表 示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为 它们是正交的），后世称为傅里叶级数Fourier Series(1807年)。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 对于函数x(t)，如果存在一个不为零的常 数T，使得当t取定义域内任意值时，都有 x(t+T)=x(t) 成立，
3、那么就把函数x(t)称为周期 函数，T为这个函数的周期。常见的周期函数 有正弦函数、余弦函数等。 周 期 函 数 周期？ M Echanical Signal Processing 机械信号处理 弹簧质量系统的简谐振动 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 内燃机活塞往复运动 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 非正弦周期函数 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Proce
4、ssing 机械信号处理 function sincos(n) t=linspace(-4,4,800); for i=1:100; s(i,1:length(t)=4/(2*i-1)*pi)*sin(2*i- 1)*t); end sum=0; for j=1:n sum=sum+s(j,:); end plot(t,sum) end 文件名保存为 ：sincos.m M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 推论：非正弦周期函数可以看成多个不同频率的 三角函数的叠加。 条件？ M Ec
5、hanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 n取为50时n取为100时 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近. Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 傅里叶级数展开条件： 任何一个周期为T的周期函数x(t)，如果 在-T/2,T/2上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点； “狄利克雷条件” M Echanical Signal Processing 机械信号处理
6、设设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一邻邻域内有定义义，如果 函数 f(x) 当 xx0 时时的极限存在，且等于它在点 x0 处处的函数值值 f(x0)，即 lim f(x)=f(x0)（xx0），那么 就称函数 f(x) 在点 x0 处连续处连续 。 不连续连续 情形： 1、在点x=x0没有定义义； 2、虽虽在x=x0有定义义但lim（xx0）f(x)不存在； 3、虽虽在x=x0有定义义且limf(x)（xx0）存在，但lim f(x) f(x0)（xx0）时则时则 称函数在x0处处不连续连续 或间间断 。 函 数 连 续 M Echanical Signal Processing 机械
7、信号处理 如果 x0 是函数 f(x) 的间断点，但左极 限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x) 的第一类间断点。 在第一类间断点中，左右极限相等者称 可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。 非第一类间断点即为第二类间断点。 第 一 类 间 断 点 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 傅里叶级数展开式频谱分析 傅里叶系数 直流分量系数 谐波分量系数 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 傅里叶级数复数形式 根据欧拉公式： M Echanical Signal Processing 机械信号处理 傅里叶级数复指数形式
8、（教材P9） 各种周期函数的傅里叶级数如图2.1所示。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 系数Cn有统一的计算公式，而且Cn的模 直接反映了n次谐波振幅的大小。 n次谐波 振幅 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 练习： M Echanical Signal Processing 机械信号处理 总结： 傅里叶级数是对周期信号进行频谱分析的 数学工具。如果以角频率nw为横坐标，以振 幅An和相角n为纵坐标，就构成了幅频图和 相频图，就可以对各次谐波分量加以研究。 幅频 相频 M Echanical Signal Pro
9、cessing 机械信号处理 练习：已知 f(t)=1+sinwt+2coswt+cos(2wt+pi/4) 请画出其幅度谱和相位谱。 解：将f(t)化为余弦形式 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 1、离散频谱特性： 周期函数的频谱是由间隔为w的谱线组成的离散 谱，振幅和相角仅在nw点上存在，周期T越大，w越 小，谱线越密，反之谱线越疏； 2、幅度衰减特性： 周期信号的幅度频谱随谐波nw增大而不断衰减， 最终趋于0。若信号时域波形变化平缓，高次谐波成 分少，幅频衰减快；反之，若信号时域波形变化跳变 多（周期矩形脉冲），高次谐波成分越多，幅频衰减 慢。 M
10、 Echanical Signal Processing 机械信号处理 3、信号有效带宽 周期矩形脉冲信号在02/频率范围内称 为其有效频带宽度，为信号的时域持续时间， 即 物理意义：在信号有效带宽内，集中了信号绝 大多数谐波分量。若信号丢失有效带宽外的谐 波成分，不会对信号产生明显的影响。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 二、傅里叶积分 如果周期矩形脉冲信号的时域持续时间不 变，而周期T增加时，w必然减小，离散谱线 加密，当 ， M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Proce
11、ssing 机械信号处理 总结： 傅里叶积分实现了对非周期信号的频谱 分析。 频谱 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 三、傅里叶变换 谱密度函数复值函数（幅频特性和相频特性 ） 条件：x(t)在区间上绝对可积。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 练习：求指数衰减函数 的傅里叶变换，其中 。 解： t x(t) M Echanical Signal Processing 机械信号处理 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭 示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内 在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 了解特性
12、的内在联系； 用性质求F()； 了解在通信系统领域中的应用。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 傅里叶变换基本特性 （1）线性特性 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 （2）比例特性（尺度变换特性） 意义 (1) 0a1 时域压缩，频域扩展a倍。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 (1) 0a1 时域压缩，频域扩展a倍。 （3）平移特性 若x(t)沿时间轴平移 ，则X(w)需以 ； 若x(t)乘以 ，则X(w)平移 。 （4）对称特性 如果x(t)是偶（奇）函数，则X(w)是偶
13、（奇）函数 时移 频移 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 （5）微分性质 （6）函数曲线下的面积（Parserval等式） 时域微分性质 频域微分性质 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 “常见函数傅里叶变换” 练习：已知 求 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 四、卷积与相关函数 （傅里叶变换重要性质） 卷积是什么 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 一种积分变换的数学方法 M Echanical Signal Processing 机械信
14、号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 四、卷积与相关函数 （傅里叶变换重要性质） 1、卷积 卷积定理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 2、相关函数 令能量谱密度 互相关和 自相关 M Echanical Signal
15、Processing 机械信号处理 总结： 相关函数用来建立相关函数与能量谱密度 的关系。 卷积建立的是现在时刻的输入信号响应及 之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的 叠加对系统输出的影响。 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 2.2 拉普拉斯变换 一、基本概念 非周期函数的傅立叶变换存在的条件： l 函数在任何有限区间满足狄利克雷条件 l 在 上绝对可积，即 存在 工程实践中很多常用函数（如阶跃函数）不满足绝对可 积条件. 又该如何处理？ M Echanical Signal Processing 机械信号处理 例如，对单位阶跃函数 直接进行傅氏变换 ？ 改造：用指数衰减函数乘以原函数f(x)。 改造后的阶跃函数 t x(t) M Echanical Signal Processing 机械信号处理 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 拉普拉斯变换公式 1、拉普拉斯变换 M Echanical Signal Processing 机械信号处理 2、拉普拉斯变换存在定理 M Echanical Signal P
